Po ostatnich n zajęciach z algebry liniowej zacząłem się zastanawiać czym właściwie jest liczba - zwyczajnie nabrałem wątpliwości

Jaka jest definicja liczby? Czy w ogóle istnieje? Jeśli nie, to jak ją określić? Wikipedię, WIEM i inne twory tego typu można pominąć.

Nowa encyklopedia powszechna PWN, Warszawa 1996 podaje
"Liczba: mat. w pierwotnym znaczeniu abstrakcyjny twór służący do oznaczania liczności przedmiotów (l. naturalne); potrzeba wyrażania za pomocą liczb takich wielkości jak długość, ciężar, objętość doprowadziła do powstania takich liczb jak wymierne, czy później niewymierne. (...) Liczbami nazywa się też twory nie objęte zwykłą arytmetyką - liczby kardynalne i porządkowe"

Oczywiście to w wielkim skrócie. Wydaje mi się, że ogólnie chodzi o to, że liczbami są właśnie takie twory abstrakcyjne*, które służą do wyrażania jakiś cech ilościowych czy to w algebrze, analizie, metrologii; zatem powiedziałbym, że liczba nie jest ściśle pojęciem matematycznym, a że pojawia się najczęściej na algebrze i analizie, to już za sprawą tego, że dla analizy najważniejszymi pojęciami są liczba, funkcja, przestrzeń a dla algebry równanie, którego rozwiązań należy szukać w liczbach.

Podejrzewam, że w Arytmetyce teoretycznej Wacława Sierpińskiego możesz znaleźć bardziej szczegółowe spojrzenie na liczby niż ma to miejsce w encyklopediach. Swoją drogą, to nie wiem czy łatwo ją dostać.



*Abstrakcja - pojęcie ogólne, nie mające odpowiednika w żadnym konkretnym przedmiocie, utworzone przez abstrahowanie, wyodrębnienie cechy charakterystycznej dla zbioru przedmiotów, Uniwersalny słownik języka polskiego, Warszawa 2006

A gdzie w tym wszystkim np. liczby zespolone? I co z np. kwaternionami?

Hmm.. powiem szczerze, że nie spotkałem się chyba z pojęciem liczby. Jeśli już, to były to liczby naturalne, z których łatwo otrzymać całkowite, później wymierne itd aż do wspomnianych przez Ciebie kwaternionów. Być może ogólna definicja nie istnieje, ale możemy za to dobrze określić np. liczbę niewymierną.

No właśnie, powiedziałbym, że liczba to twór abstrakcyjny, który coś wyraża: l. naturalne - porządek, l. zespolone - punkt na płaszczyźnie, l. rzeczywiste - niemal wszystko mogą wyrażać - punkt na prostej, masę itd., l. kantowe też wyrażają zjawiska za pomocą przyporządkowania ich fizycznych cech pewnym wartościom.

Ja bym to rozumiał właśnie tak.

W takim razie zdefiniuję taki zbiór: . Czy elementy tego zbioru są liczbami?

Czy można zdefiniować ciało, którego elementami nie będą liczby, a np. litery alfabetu łacińskiego wraz ze zdefiniowanymi działaniami?

Powiedziałbym, że elementami tego zbioru są liczby jeśli odpowiednio je nazwiesz W końcu para liczb zostały nazwane liczbami zespolonymi. Sądzę, że analogicznie można przedstawione przez Ciebie liczby utożsamiać z uporządkowaną trójką, cokolwiek miałaby ona oznaczać (np. jakiś trójelementowy ciąg).

A ciało z definicji to zbiór z określonymi działaniami nazywanymi dodawaniem i odejmowaniem i z dwoma elementami nazywanymi zerem i jedynką o pewnych 9. (chyba dobrze pamiętam) własnościach. Skoro w definicji mamy zbiór, to automatycznie nie musi to być zbiór liczbowy; ważne są elementy neutralne i to, aby te własności były spełnione.

Kris napisał/a

Powiedziałbym, że elementami tego zbioru są liczby jeśli odpowiednio je nazwiesz W końcu para liczb zostały nazwane liczbami zespolonymi.

Ale przecież nie sama para liczb, trzeba chyba do tego dodać działania? Czy nie?

Kris napisał/a

Sądzę, że analogicznie można przedstawione przez Ciebie liczby utożsamiać z uporządkowaną trójką, cokolwiek miałaby ona oznaczać (np. jakiś trójelementowy ciąg).

Z tego wynika, że przy odpowiednim określeniu nawet my moglibyśmy być liczbami.

Kris napisał/a

A ciało z definicji to zbiór z określonymi działaniami nazywanymi dodawaniem i odejmowaniem i z dwoma elementami nazywanymi zerem i jedynką o pewnych 9. (chyba dobrze pamiętam) własnościach. Skoro w definicji mamy zbiór, to automatycznie nie musi to być zbiór liczbowy; ważne są elementy neutralne i to, aby te własności były spełnione.

Podejrzewam, że chodziło o mnożenie, nie o odejmowanie

Od końca.

Chodziło oczywiście o działanie nazywane mnożeniem.

Zgodnie z napisaną definicją, to rzeczywiście. Notabene, podczas tej dyskusji doszedłem do tego, że liczby są abstrakcyjnym tworem, za pomocą którego modeluje się rzeczywistość. Oczywiście to tylko moje przemyślenia.

Jeśli chcemy, aby nasz zbiór stał się systemem algebraicznym z prawdziwego zdarzenia", to oczywiście potrzeba określić tak jakieś działania. [Nie zmienia to faktu, że sam zbiór także jest systemem algebraicznym]

Kris napisał/a

Zgodnie z napisaną definicją, to rzeczywiście.

Ale obaj doskonale wiemy, że krowa to nie liczba

Kris napisał/a

Notabene, podczas tej dyskusji doszedłem do tego, że liczby są abstrakcyjnym tworem, za pomocą którego modeluje się rzeczywistość.

...lub inne abstrakcyjne twory. No tak, takie są ukształtowania historyczne, dopiero współczesna matematyka nadała im typowo abstrakcyjne znaczenie.

Kris napisał/a

Jeśli chcemy, aby nasz zbiór stał się systemem algebraicznym z prawdziwego zdarzenia, to oczywiście potrzeba określić tak jakieś działania. [Nie zmienia to faktu, że sam zbiór także jest systemem algebraicznym]

Mimo to coś karze mi dobrze się zastanowić przed stwierdzeniem, że (może dlatego, że nikt nigdy otwarcie przy mnie tego nie powiedział). Na studiach rzeczy oczywiste stają się coraz mniej oczywiste (a to ledwo początek).