Witam serdecznie

Trochę od matmy odpocząłem i już są problemy, a konkretnie z długością wersorów. Zgodnie z definicją przytoczoną w kompendium, wersor jest wektorem o długości 1. Wszystko się zgadza, aż do momentu, kiedy zostaje przedstawiona definicja w prostokątnym układzie współrzędnych 0xyz:



Jednak według mnie wektor o wymiarach i początku w punkcie ma długość ,zatem wersorem nie jest.

Z kolegi wektor o długości ma długości skłądowe równe

Gdzie popełniam błąd?

Błędu nie ma. Wersory to wektory ściele związane ze współrzędnymi w danym układzie współrzędnych - wskazują one kierunek i zwrot wzrostu współrzędnej. Wersor x x-owej, y y-owej i z z-owej.

Jak powiedziałem, wersory są ściśle związane z układem współrzędnych. Układy współrzędnych natomiast opisują przestrzeń, którą można opisać wektorami [punktami] (np. w kartezjańskim układzie współrzędnych dowolny punkt [wektor] może być opisany za pomocą kombinacji liniowej wersorów, tj. a[1,0,0]+b[0,1,0]+c[0,0,1]).

Wszystko stety lub niestety dąży do pojęcia przestrzeni liniowej i terminów z nią związaną: głównie liniową niezależnością wektorów, kombinacją liniową, i w końcu bazą przestrzeni liniowej.

Wektory tworzą bazę p.l. jeśli są liniowo niezależne i generują przestrzeń. Wersory i, j, k tworzą bazę. Wektory [1,1,1], [1,1,0] i [1,0,0] tworzą bazę choć tylko ostatni wektor ma długość 1. Osie tego układu nie są ortogonalne; osie układu kartezjańskiego są prostopadłe. Układ [1,1,1,], [1,1,0], [1,0,0] jest nieznormalizowany czyli nie wszystkie wektory go opisujące są długości 1. Układ kartezjański jest unormowany.

U Ciebie wektor u jest nieznormalizowany a wektor r jest znormalizowany (unormowany) bo ma długość 1.

Pewnie namieszałem, ale wszystko się ze sobą łączy dopiero na wyższym poziomie.

Najbardziej zrozumiała była ostatnia linijka Rozumiem, że do odpowiedniej dyskusji jest potrzebne nieco większa wiedza. Postaram się to nadrobić we własnym zakresie. Najwyżej znów się odezwę

Nie musisz we własnym zakresie bo na studiach będziesz to mieć, choć większość co tu napisałem było przedmiotem (przynajmniej u mnie) Algebry liniowej 2.

Może ktoś to lepiej wytłumaczy.

lemon napisał/a

Gdzie popełniam błąd?

Zależy, gdzie widzisz sprzeczność W tym, co napisałeś, nie ma błędu, więc zapewne jest gdzieś w rozumowaniu.

Na początek dowiedz się czegoś o strukturach algebraicznych, tzn. grupy, pierścienie, ciała i właśnie przestrzenie liniowe. Elementy przestrzeni liniowych nazywamy wektorami, więc jest to uogólnienie pojęcia wektora ze szkoły. Potem pojęcie liniowości, kombinacji liniowej, liniowej zależności i niezależności, bazy i chyba wystarczy, żeby zrozumieć problem. Jeżeli czegoś nie znajdziesz albo będą problemy z akceptacją niektórych rzeczy, to pisz.

Np. Twój wektor można zapisać jako - i to jest kombinacja liniowa wersorów

Pytaj, bo nie wiem, co Ci napisać.

Załóżmy, że mamy wektor o składowych . Korzystając z pitagorasa lub od razu ze wzoru na przekątną sześcianu otrzymujemy długość . A zatem nie jest to to wersor ponieważ jego długość jest różna od jedności (sytuacja w załączniku).

Z kolei wektor o długości może sie składać z różnych skłądowych, np.

No, ale co w związku z tym. Mamy po prostu i wektor b jest wektorem jednostkowym.

Nie napisałem chyba tego w kompendium, ale niektórzy wprowadzają różnicę między wektorami jednostkowymi a wersorami.

Wersory to..., przepiszę za Taylorem:

J.R. Taylor Mechanika klasyczna t.1 napisał/a

Jeśli są współrzędnymi w ortogonalnym układzie współrzędnych, to = wektor wskazujący kierunek, w którym współrzędna rośnie przy ustalonych wartowniach i . Wersory i definiujemy analogicznie. Dowolny wektor można przedstawić w postaci: .

U Ciebie wektor b może służyć do zdefiniowania nowego układu współrzędnych, niekoniecznie ortogonalnego. Jednak w określonym już układzie jest jedynie wektorem jednostkowym, gdyż ma długość 1 i niewiele mówi o wzroście współrzędnych.

Ok, już mniej więcej rozumiem