Chciałem się Was zapytać czy znacie może jakieś ciekawe dowody nie wymagające komentarza.

W załączniku podaję przykładowe twierdzenie (Cauchy'ego) mówiące o nierównościach pomiędzy średnimi: arytmetyczną, geometryczną, harmoniczną i kwadratową. Jest to właściwie szczególny przypadek twierdzenia, zastosowany dla dwóch liczb. Same nierówności są od razu widoczne z rysunku, trzeba jedynie uświadomić sobie, że tak nazwane odcinki są rzeczywiście średnimi.

Ciekawie prezentuje się też dowód twierdzenia , które uzasadnia poniższy rysunek:


Pytanie do Was: jak można rysunkowo uzasadnić proste wzory skróconego mnożenia: i dla liczb dodatnich?

---

means1.jpg

Plik ściągnięto 1052 raz(y) 49.46 KB

Wzór na kwadrat sumy jest zdaje się zilustrowany na Wikipedii. Natomiast wzór na różnicę kwadratów jest jeszcze prostszy:
Rysujemy dwa kwadraty: większy, o boku a i mniejszy, o boku b tak, że mają jeden wierzchołek wspólny, boki równoległe i mniejszy jest zawarty w większym.
Jak się narysuje, to można zobaczyć, że to, co nam zostało wynosi. W sumie nawet nie trzeba robić obliczeń tylko coś zauważyć na rysunku...

---

(a+b)(a-b).gif

Plik ściągnięto 1040 raz(y) 6.46 KB

Można chyba jeszcze ciut prościej. Dołączmy jeden z prostokątów o wymiarach do prostokąta o wymiarach tak, aby dostać prostokąt. Powstały prostokąt ma wymiary

[ Dodano: 13 Grudzień 2010, 17:29 ]
Znacie jakieś inne proste i ciekawe dowody?

O tym właśnie myślałem pisząc "W sumie nawet nie trzeba robić obliczeń tylko coś zauważyć na rysunku...".

Nierówności między sinusami, tangensami itp. w zasadzie też można uzasadniać geometrycznie.

Pisząc "dowody bez słów" masz na myśli dowody "obrazkowe", czy po prostu zapisy wyłącznie z wykorzystaniem symboli matematycznych? Jeżeli to drugie też, to podejrzewam, że w algebrze abstrakcyjnej można znaleźć sporo takich rzeczy. A pierwsze moje skojarzenie z "obrazkowymi" to dowody działań na zbiorach.

[ Komentarz dodany przez: Kris: 13 Grudzień 2010, 19:41 ]
Diagramy Venna nie mogą chyba zastąpić dowodu? Czy mogą?

Mniej, a wnikliwiej. Jednakże cel musi być nadrzędny. Interpretacje geometryczne są znakomite, ale nie podstawisz ich do obliczeń (doba liczy 24h - również w RP).
a^{2} - b^{2} = pq ⇒ [a - b = q ∧ a^{2} - b^{2} = (b + q)^{2} - b^{2} =
2bq + q^{2} = q(2b + q) = q(2b + a - b) = (a - b)(a + b)].
Liczą się zatem te interpretacje geometryczne, które wnoszą podstawę do myślenia twórczego.
Oto moje amatora Re. na wiadomy przykład.

1). Dziedzina D(F) = R = (- ∞, + ∞).

2). Przeciwdziedzina F(D) = [q, + ∞).

3). f(x) = 2x^{2} + 2x - 4 = 2[x^{2} + x + (p)^{2} - (p)^{2}] - 4,

gdzie p = -1/2.

Zatem f(x) = 2(x^{2} + x + 1/4 - 1/4) - 4 =

2(x + 1/2)^{2} - 9/2 =

2[(x + 1/2)^{2} - (3/2)^{2}] = 2(x + 2)(x - 1).

Stąd W = (p,q) = (-1/2,-9/2),

więc przeciwdziedzina F(D) = [-9/2, + ∞) czyli f(x) ∈ [-9/2, + ∞),

f(x)↘ (+ ∞, -9/2] dla x ∈ (- ∞, -1/2],

f(x)↗ [-9/2, + ∞) dla x ∈ [-1/2, + ∞),
gdzie (- ∞, -1/2], [-1/2, + ∞)
są tzw. maksymalnymi przedziałami monotoniczności,
oraz

4). Miejsca zerowe to: x = -2 lub x = 1.

5). f(x) > 0 w przedziałach: x ∈ (- ∞, -2) lub x ∈ (1, + ∞).

6). f(x) < 0 w przedziale (dla) x ∈ (-2, 1).

7). Ekstremum (globalne = lokalne),

to ekstremum minimum równe q = f(-1/2) = -9/2, gdzie -1/2 = p = x_0.
Fajnie?
http://lwgula.pl.tl/

Rzeczywiście, nie sposób doszukać się choćby jednego słowa