Dylemat sklepikarza :: Artykuły / Polski Serwis Naukowy

Polecamy również:

Pierwszy światowy kongres nt. strategii obniżania spożycia cukru i soli, Saint Julian, Malta

Implikacje zmian klimatu, niedoboru zasobów i sytuacji demograficznej dla strategii innowacji, Bruksela, Belgia

Eksperci: polska onkologia potrzebuje nowej strategii

Laureat FNP szuka nowej strategii leczenia mięsaka

Badanie SWPS: urodzenie wcześniaka obniża samoocenę matki

Niewprowadzenie strategii lizbonskiej moze drogo kosztowac Unie Europejska - wykazuje badanie

Niniejszy tekst jest próbą analizy pewnej konkretnej sytuacji - uproszczonego procesu podejmowania decyzji przez sklepikarza o obniżce cen bądź jej braku.

Załóżmy, że sytuacja dotyczy dwóch sklepikarzy dysponujących takim samym asortymentem i strukturą cen oraz mających swoje sklepy w pobliżu siebie (na przykład po dwóch stronach ulicy). Prowadzą oni korespondencyjny pojedynek, którego celem jest uzyskanie większych od rywala zysków ze sprzedaży. Przyjmujemy dla uproszczenia, że obaj sklepikarze wpływają na sprzedaż wyłącznie poprzez decyzje o obniżce cen (o ten sam procent) albo pozostawieniu ich na niezmienionym poziomie.

Model matematyczny
Sklepikarzy będziemy nazywać graczami i oznaczać liczbami naturalnymi 1 oraz 2.
Decyzje graczy będziemy nazywać strategiami. Do wyboru każdy z graczy ma dwie strategie:
o - obniżyć ceny
n - nie obniżać cen

Zakładamy, że przepływ pomiędzy sklepami regulowany jest wyłącznie poprzez układ strategii graczy, to znaczy przez podjęcie decyzji przez każdego z graczy. Gracze podejmują swoje decyzje niezależnie, nie mając wiedzy o postępowaniu rywala.
Konsekwencje podjętych przez nich decyzji będziemy określać liczbowo oraz nazywać wypłatami. Wypłaty to niekoniecznie wartości pieniężne. Zawierają one wszelkie wartości materialne i pozamaterialne (na przykład emocje, uczucia) będące wynikiem układu strategii obu graczy.
Relację pomiędzy układami strategiami a wypłatami przedstawia następująca tabela (macierz) wypłat:

$\begin{tabular}{ c | c |c } & \mbox{n} & \mbox{o} \\ \hline \mbox{n} & (0,0) & (-10, 5) \\ \hline \mbox{o} & (5,-10) & (-5,-5) \\ \end{tabular}$

Pierwsza liczba w nawiasie, to wypłata gracza 1, zaś druga to wypłata gracza 2.
Tabela opisuje zysk (niekoniecznie pieniężny) gracza względem drugiego.
Jeśli obaj gracze postanowią nie obniżać cen, to żaden z nich nie uzyska w ten sposób większego ruchu w sklepie, ale też nie traci na obniżce - obaj otrzymują wypłatę 0. Decyzja o obniżce cen przed 2 sklepikarzy skutkuje wyłącznie mniejszym przychodem, bo ruch się nie zmienia (klienci sugerując się cenami nie mają powodu, żeby zmienić jeden sklep na inny) - obaj otrzymują -5. Ostatnia możliwa sytuacja to taka, gdy jeden z graczy wybiera strategię o, podczas gdy drugi z graczy nie obniża cen. W takim wypadku gracza, który wybrał o czeka wspaniała wiadomość - zyskuje 5. Natomiast rywal może odczuć rozczarowanie uzyskując wypłatę -10.

Jaka decyzja jest najkorzystniejsza?
Zauważmy na początek, że wypłaty w tabeli układają się w pewnym sensie symetrycznie. W takim sensie, że zamiana graczy rolami nie zmienia układu wypłat w tabeli.
Postawmy się na miejscu gracza 1 (wspomniana wyżej symetria mówi, że równie dobrze moglibyśmy rozważać decyzje gracza 2) i ustalmy strategię gracza 2:

- jeśli wiemy, że gracz 2 wybierze n, to my wybieramy o, bo 0<5
- jeśli wiemy, że gracz 2 wybierze o, to my wybieramy o, bo -10<-5

Jaki stąd wniosek? Otóż okazuje się, że bez względu na to, której strategii użyje gracz 2, my powinniśmy wybrać strategię o, bo w każdym przypadku zyskujemy. Analogiczną analizę może przeprowadzić gracz 2 i dojść do wniosku, że jemu również (bez względu na wybór strategii przez gracza 1) opłaca się użyć strategii o. To sugeruje, że w wyniku racjonalnej analizy wynikiem wyboru obu graczy będzie układ strategii (o,o), to znaczy każdy z graczy decyduje się obniżyć ceny. Każdemu z graczy otrzyma wówczas wypłatę równą -5.
Jak zauważyliśmy wcześniej obniżka cen przez dwóch sklepikarzy jest mniej atrakcyjna niż pozostawienie cen na niezmienionym poziomie przez graczy. Układ (n,n) nie jest jednak łatwy do osiągnięcia, co pokażemy za chwilę.

Zatem odpowiedź na pytanie jaka decyzja jest najkorzystniejsza nie jest jednoznaczna i najlepsza.
Z jednej strony racjonalna analiza doprowadza na do układu (o,o), jednak w macierzy wypłat istnieje o wiele lepszy (dla obu graczy!) układ wypłat odpowiadający profilowi strategii (n,n).

Do tej pory zakładaliśmy, że sklepikarze podejmują swoją decyzję osobno i niezależnie. Dopuśćmy teraz możliwość porozumiewania się przed rozgrywką. Można przypuszczać (a zakładamy, że gracze postępują racjonalnie i usiłują maksymalizować swoje wypłaty), że gracze umówią się na wybór strategii n. Wówczas każdy z nich mógłby liczyć na bardzo przyzwoitą wypłatę 0 (druga z najwyższych wypłat).

Postawmy się znów w roli gracza 1. Umówiliśmy się przed grą z graczem 2, że żaden z nas nie decyduje się na obniżkę. Patrząc na tabelę wypłat nie sposób jednak nie odczuć pokusy zmiany ustalonej wcześniej decyzji. Skoro wiemy, że gracz 2 wybierze n, to o daje nam dużo większą wypłatę 5 zamiast 0 oraz jednocześnie możemy totalnie pogrążyć tym wyborem rywalizującego z nami sklepikarza, który otrzyma wypłatę -10 zamiast 0. To sprytne rozumowanie ma jednak jedną wadę. Zakładamy, że rywal będzie się trzymał wcześniejszej umowy i na niego akurat ta pokusa nie zadziała. Jeśli jednak po raz kolejny odniesiemy się do racjonalności i chęci maksymalizacji wypłaty, to gracz 2 również przeprowadzi podobne rozumowanie i wybierze strategię o. Wynikiem będzie znów wypłata -5, choć 0 było nieomal na wyciągnięcie ręki.

Pokusa w tym przypadku jest na tyle duża, że również w pierwotnej wersji tej gry (niedopuszczającej porozumiewania się przed rozgrywką) żaden z graczy nie odważy się wybrać n aby nie naciąć się na decyzję rywala o obniżce. Żaden z graczy nie chce otrzymać nazywanej w literaturze fachowej wypłaty frajera wynoszącej -10. Jasnym staje się więc dlaczego w tytule pojawiło się słowo "dylemat".

Powyższy przykład jest zastosowaniem klasycznego przykładu teorii gier nazywanego "Dylematem więźnia" w nieco przyjemniejszej niż penitencjarno-prokuratorskiej formie. Dylemat pozostał więc dylematem i nie bardzo zanosi się, aby znaleziono jakieś sensowne rozwiązanie powyższej sytuacji.
Zgodnie z koncepcją punktu równowagi wprowadzoną przez matematyka Johna Nasha (noblistę, którego historię opowiada film "Piękny umysł") wskazującą najlepszy układ strategii najlepszym wyborem jest układ (o,o).
Analizowany przez nas przykład pokazuje słabość tego pojęcia, choć wprowadzenie lepszego jak dotąd nikomu się jeszcze nie udało.

Definicja. Punktem równowagi nazywamy układ strategii graczy o takiej własności, że zmiana strategii przez jednego gracza (przy ustalonym wyborze pozostałych) nie przynosi mu żadnych korzyści, to znaczy wypłata jest niewiększa od wypłaty dla wyjściowego układu.

Łatwo sprawdzić, że w naszym przykładzie układ (o,o) jest punktem równowagi, natomiast (n,n) nie jest punktem równowagi.
Pokażemy, że (o,o) jest punktem równowagi. Przypuśćmy, że gracz 1 chce odstąpić od o na rzecz n. Wówczas wypłata gracza 1 dla układu (n,o) wynosi -10<-5. Z symetrii wynika nieopłacalność zmiany strategii przez gracza 2 przy ustalonej strategii o gracza 1.

Choć nie udało się nam uzyskać najlepszej możliwej odpowiedzi, sama próba takiej analizy może być pożytecznym działaniem, wykorzystującym nadal młodą i rozwijającą się dziedzinę matematyki jaką jest teoria gier. Taka analiza jest ponadto punktem wyjścia do nieco innego, jeszcze bliższego rzeczywistości spojrzenia na tę sytuację, w której gra jest powtarzana w czasie.

Literatura:
M. Osbourne, A. Rubinstein, A course in game theory, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1999.
P. Straffin, Teoria gier, Wydawnictwo Scholar, Warszawa, 2001.
P. Szydzik, Punkty równowagi Nasha gier powtarzanych ze szczególnym uwzględnieniem gier $\fs2\delta$ -dyskontowych, WMiI UMK, Toruń 2010.

komentuj publikację

Czy wiesz że...?

wersja BETA

Dylemat więźnia to jeden z najsłynniejszych problemów w teorii gier. Jest oparty na dwuosobowej grze o niezerowej sumie, w której każdy z graczy może zyskać oszukując przeciwnika, ale obaj stracą jeśli obaj będą oszukiwać. pełny tekst

Dylemat więźnia - problem w teorii gier. Jest oparty na dwuosobowej grze o niezerowej sumie, w której każdy z graczy może zyskać oszukując przeciwnika, ale obaj stracą jeśli obaj będą oszukiwać. pełny tekst

Jajko czy kura? dylemat przyczynowo-skutkowy znany powszechnie jako pytanie: Co było pierwsze, jajko czy kura?. Dylemat ten odnosi się do problemów wynikających z kolistej przyczynowości czy odwołań cyklicznych. pełny tekst

Gra w postaci normalnej - typ gry w której gracze jednocześnie i niezależne od siebie decydują o swoich strategiach nie znając decyzji przeciwników. Do opisania takiej gry potrzebna jest znajomość możliwych akcji graczy (zwanych także zagraiami, strategiami czystymi), oraz wysokości wypłat przy zastosowaniu przez graczy danych akcji. pełny tekst

Moduł "Czy wiesz że...?" (wersja testowa, beta): definicje/pojęcia wygenerowane w obrębie tego modułu pochodzą z Wikipedii i udostępniane są na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Dostęp do pełnej wersji każdego hasła (oraz dokładnch informacji na temat licencji, autora oraz edycji) możliwy jest po kliknięciu w odnośnik opisany jako "pełny tekst".