Łączność - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

Znaczenie algebraiczne

Działanie $\diamondsuit$ w zbiorze $S$ jest łączne, jeżeli $\forall_{a, b, c \in S} \; a \;\diamondsuit\; b \;\diamondsuit\; c = a \;\diamondsuit\; (b \;\diamondsuit\; c) = (a \;\diamondsuit\; b) \;\diamondsuit\; c$ .

Łączność działania oznacza, że kolejność wykonywania obliczeń nie ma wpływu na wynik, a rezygnacja z nawiasów nie zmienia znaczenia napisu. Z definicji: działanie nie jest łączne, jeśli $\exist_{a, b, c \in S} \; a \;\diamondsuit\; (b \;\diamondsuit\; c) \ne (a \;\diamondsuit\; b) \;\diamondsuit\; c$ .

Przykłady

dodawanie, mnożenie,

złożenie funkcji,

suma zbiorów, przecięcie zbiorów.

Znaczenie składniowe

W tym znaczeniu istnieje lewostronna lub prawostronna łączność i oznacza przyjętą przez konwencję kolejność wykonywania działań, jeśli nie jest ona jawnie określona przez nawiasy.

Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.

W algebrze o grupoidzie G mówi się, że jest lewostronnie alternatywny, jeśli (xx)y = x(xy) dla każdego x i y w G oraz prawostronnie alternatywny, jeśli y(xx) = (yx)x dla każdego x i y w G. O grupoidzie będącym zarazem lewo- jak i prawostronnie alternatywnym mówi się krótko, iż jest alternatywny.

Jeśli działanie ma łączność lewostronną, wykonywane jest od strony lewej do prawej: $a \;\diamondsuit\; b \;\diamondsuit\; c = (a \;\diamondsuit\; b) \;\diamondsuit\; c$

W przypadku łączności prawostronnej działanie wykonuje się od strony prawej do lewej: $a \;\diamondsuit\; b \;\diamondsuit\; c = a \;\diamondsuit\; (b \;\diamondsuit\; c)$ .

Należy zauważyć, że lewostronna lub prawostronna łączność jest własnością notacji, a nie samego działania i ma sens jedynie w wypadku działań, które nie są łączne.

Przykłady działań lewostronnie łącznych

odejmowanie, np. $5 - 3 - 2 = (5 - 3) - 2 = 0$ ,

dzielenie, np. $12 : 4 : 3 = (12 : 4) : 3 = 1$ .

Przykłady działań prawostronnie łącznych

potęgowanie, np. $2^{3^4}=2^{(3^4)}=2^{81}=2417851639229258349412352$ .

Zobacz też

alternatywność

przemienność

rozdzielność