Średnia kwadratowa - Polski Serwis Naukowy

W matematyce średnia kwadratowa – przykład miary statystycznej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii danych liczbowych lub funkcji ciągłej, użyteczny zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różnią się znakiem.

Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem innej miary, jest to mianowicie średnia potęgowa rzędu 2, jednak ze względu na jej znaczenie praktyczne ma odrębną nazwę.

Dla rozkładu dyskretnego

Średnia kwadratowa $n\,$ liczb $a_1, a_2, \ldots, a_n$ jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb

Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Temperatura – jedna z podstawowych ) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.

$a_{SK} =\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$

Na przykład, średnią kwadratową liczb 2, 2, 5 i 7 jest $\sqrt{\frac{2^2 + 2^2 + 5^2 + 7^2}{4}} \approx 4,53$ .

Ważona średnia kwadratowa jest to średnia kwadratowa z uwzględnieniem wag poszczególnych składników $a_{SKW} = \sqrt{\frac{w_1\cdot a_1^2 + w_2\cdot a_2^2 + \cdots + w_n\cdot a_n^2}{w_1 + w_2 + \cdots+w_n}}$ .

Dla rozkładu ciągłego

Średnią kwadratową funkcji ciągłej $x(t)$ określonej w przedziale $[T_1, T_2]$ określamy według wzoru: $x_{SK} = \sqrt{{1\over{T_2-T_1}} \int\limits_{T_1}^{T_2}[x(t)]^2\,dt}$

Przykłady zastosowań

W matematyce

Średnia kwadratowa różnic wartości zmiennej i wartości oczekiwanej jest odchyleniem standardowym tej zmiennej (dla populacji skończonej)

Kelwin – jednostka temperatury w układzie SI równa 1/273,16 temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody, oznaczana K. Definicja ta odnosi się do wody o następującym składzie izotopowym: 0,00015576 mola 2H na jeden mol 1H, 0,0003799 mola 17O na jeden mol 16O i 0,0020052 mola 18O na jeden mol 16O[1].

Prąd przemienny (ang. alternating current, AC) – charakterystyczny przypadek prądu elektrycznego okresowo zmiennego, w którym wartości chwilowe podlegają zmianom w powtarzalny, okresowy sposób, z określoną częstotliwością. Wartości chwilowe natężenia prądu przemiennego przyjmują naprzemiennie wartości dodatnie i ujemne (stąd nazwa przemienny). Najczęściej pożądanym jest, aby wartość średnia całookresowa (tzn. składowa stała) wynosiła zero.

$\sigma =\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( x_{i}-x_{0} \right)^{2}}}{n}}$

gdzie n – liczebność populacji, x0 wartość oczekiwana zmiennej.

W rachunku błędów

Odchylenie standardowe jest miarą niepewności pomiarowej przy wielokrotnym pomiarze tej samej wielkości. Estymatorem wartości oczekiwanej jest wówczas wartość średnia. Aby średnia kwadratowa odchyleń od średniej mogła być średnim błędem kwadratowym, liczba pomiarów powinna być większa od 30.

Statystyka to funkcja mierzalna określona na przestrzeni statystycznej, służąca do wyodrębnienia pewnych istotnych cech danych doświadczalnych. Jest szczególnym przypadkiem miary rozkładu. Pojęcie statystyki w statystyce matematycznej jest odpowiednikiem zmiennej losowej w rachunku prawdopodobieństwa.

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

W teorii kinetycznej gazów

Średnia prędkość kwadratowa cząsteczek gazu doskonałego w teorii kinetycznej gazów $\sqrt{\overline{V^{2}}}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i}^{n}{V_{i}^{2}}}{n}}$

jest ściśle związana z temperaturą tego gazu. Dla gazu jednoatomowego zależność ta wyraża się wzorem $\sqrt{\overline{V^{2}}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$ ,

gdzie: k – stała Boltzmanna; T – temperatura w kelwinach; m - masa pojedynczej cząsteczki.

Wzór ten można znaleźć z rozkładu prędkości cząsteczek (rozkład Maxwella).

W teorii sygnałów

Wartość skuteczna natężenia $I_{SK}$ prądu przemiennego $i(t)$ jest taką wartością natężenia prądu stałego, która w ciągu czasu $T$ , równego okresowi prądu przemiennego, spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego. Wartość ta jest średnią kwadratową tego sygnału:

Kinetyczno-molekularna teoria gazów — mikroskopowy model budowy gazów, umożliwiający makroskopowy opis ich właściwości przy założeniu bardzo dużej ilości atomów, cząsteczek lub jonów.

Masa – jedna z podstawowych . W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.

$I_{SK}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits^{t_0+T}_{t_0}{i^2\left( t\right)}dt}$ .

Zobacz też

nierówność Cauchy'ego o średnich

nierówność między średnimi potęgowymi

wariancja