Środek ciężkości - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy środka ciężkości w fizyce i astronomii. Zapoznaj się również z: barycentrum w geometrii (topologii).

Dwa ciała o jednakowych masach krążące wokół wspólnego barycentrum.

Dwa ciała o zbliżonych masach krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Pluton i Charon).

Dwa ciała o dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum.

Dwa ciała o bardzo dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Ziemia i Księżyc).

Barycentrum Układu Słonecznego w latach 1945 - 1995

Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.

Przyspieszenie grawitacyjne to przyspieszenie ciał wynikające z przyciągania grawitacyjnego. W warunkach spadku swobodnego ciał jest ono po prostu przyspieszeniem ich ruchu. W sytuacji statycznej, np ciała spoczywającego na poziomej powierzchni, przyspieszenie grawitacyjne odpowiada za mierzony ciężar.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego pojęcia te często są mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

Znajdowanie środka ciężkości

Dla ciał dających się przedstawić (dokładnie lub z wystarczającym przybliżeniem) w postaci skończonego lub co najwyżej przeliczalnego zbioru mas punktowych, środek ciężkości znajduje się, obliczając punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości działającej na ciało. Dane ciało dzieli się na elementy o masach $m_k, k=1, 2, 3 \dots$ (niekoniecznie równych), z każdym elementem wiąże się wektor $\vec r_k$ , reprezentujący jego położenie w obranym układzie współrzędnych oraz wartość $g(\vec{r_k})$ przyspieszenia grawitacyjnego działającego w punkcie $\vec r_k$ . Wówczas środek ciężkości ciała wyraża się przez:

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Środek masy ciała lub układu ciał jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii.

$\vec r_0={{\sum_k m_k g(r_k)\vec r_k}\over{\sum_k m_k g(r_k)}}$

W polu grawitacyjnym jednorodnym wszystkie $g(r_k)$ są równe, zatem wzór powyższy po skróceniu upraszcza się do postaci: $\vec r_0={{\sum_k m_k \vec r_k}\over{\sum_k m_k}}$

Suma w mianowniku wyraża masę ciała zaś obliczony środek ciężkości jest w tym przypadku tożsamy ze środkiem masy.

Powyższa zależność dla ciał ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości $\rho$ w przestrzeni za pomocą zależności: $\vec r_0={1 \over M} \int\limits_V \rho \vec r d V$

w której M oznacza masę ciała, obliczaną jako całka z jego gęstości:

Pole grawitacyjne to pole wytwarzane przez obiekty posiadające masę. Określa wielkość i kierunek siły grawitacyjnej działającej na znajdujące się w nim inne obiekty posiadające masę. Podstawową teorią opisującą pole grawitacyjne i jego związek z cechami przestrzeni jest ogólna teoria względności (OTW), stworzona przez Alberta Einsteina.Prawo grawitacji sformułował angielski uczony Izaak Newton. Pole opisuje się poprzez podanie natężenia pola grawitacyjnego γ, czyli siły F działającej na masę jednostkową m, lub potencjału grawitacyjnego. Obrazem pola grawitacyjnego są linie pola lub powierzchnie ekwipotencjalne. Kierunek i zwrot linii pola jest zgodny z kierunkiem i zwrotem sił działających na masę punktową.

Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Pojęcie to odnosi się najczęściej do przestrzeni euklidesowej, ale może też dotyczyć przestrzeni hiperbolicznej i rzutowej.

$M=\int\limits_V \rho dV\,$

a całkowanie zachodzi po całej objętości V ciała, przy czym:

$\vec r_0$ to wektor środka masy;

M to masa ciała;

V to objętość ciała;

$\rho=\rho(x,y,z)$ to funkcja gęstości ciała

Jeżeli ciało zawiesić nieruchomo na nici, to środek ciężkości znajduje się na przedłużeniu nici.

Astronomia

Dla układu Ziemia - Księżyc barycentrum znajduje się około 4600 km od środka Ziemi. Natomiast dla układu Słońce - Ziemia znajduje się ono około 450 km od środka Słońca. Układ Słońce - Jowisz ma barycentrum około 742 300 km od środka Słońca. W przypadku całego układu planetarnego nie ma stałego barycentrum ze względu na różne ułożenie planet wzg. siebie i Słońca.

Ziemia (łac. Terra) − trzecia licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu.

Słońce (łac. Sol) – gwiazda centralna Układu Słonecznego, wokół której krąży Ziemia, inne planety oraz mniejsze ciała niebieskie. Słońce to najjaśniejszy obiekt na niebie i główne źródło energii docierającej do Ziemi.

Położenie barycentrum dwóch ciał można obliczyć ze wzoru: $r_1 = r_{\rm tot} {m_2 \over m_1 + m_2}$

gdzie r1 to odległość ciała 1 od barycentrum, rtot to odległość między ciałami, a m1 i m2 to masy ciał.

Dwa ciała o jednakowych masach krążące po orbitach eliptycznych wokół wspólnego barycentrum (układ potencjalnie niestabilny).

Zobacz też

Środek masy

Średnia ważona

Średnia arytmetyczna