Abstrakcja - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Abstrakcja - sposób rozumowania leżący u podstaw matematyki, polegający na odrzuceniu części cech przedmiotów fizycznych w celu wyeksponowania cech pożądanych. Wszystkie obiekty matematyczne powstały na tej drodze. Utworzone w ten sposób obiekty są obiektami idealnymi, a nie realnymi.

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Abstrakcja często przybiera formy abstrakcji wielostopniowej. Przykładem może być geometria Euklidesa, która stworzyła system obiektów i związków między nimi, bazując na pierwotnych abstrakcjach punktu i prostej. Następnie na tej bazie powstały przestrzenie metryczne, jako abstrakt abstraktu, a w końcu przestrzenie topologiczne jako abstrakt przestrzeni metrycznych.

W teorii mnogości, indukcja pozaskończona to rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, czy też nawet na klasę liczb porządkowych.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Od strony formalnej abstrahowanie polega często na wprowadzaniu w klasie obiektów relacji równoważności i badaniu klas abstrakcji takich relacji. Stąd klasy elementów równoważnych nazywa się klasami abstrakcji.

W matematyce współczesnej spotyka się też metodę uzyskiwania pojęć abstrakcyjnych drogą idealizacji. Polega ona na wyobrażeniu sobie własności czy cech w rzeczywistości nie występujących. Przykładem może tutaj być idea aktualnej nieskończoności, która leży u podstaw teoriomnogościowych podstaw matematyki. Związane z tą ideą są takie pojęcia jak moc zbioru, różne rodzaje nieskończoności $\{\aleph_0, \aleph_1 ...\}$ , liczby porządkowe, indukcja pozaskończona, pewnik wyboru, itp. U podstaw tej idei leżało odkrycie faktu, że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Liczby porządkowe – w teorii mnogości specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków.

David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie) - zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) - matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

Przykłady

Punkt w przestrzeni jest abstraktem miejsca (zapewne stąd wzięła się na przykład nazwa metoda miejsc geometrycznych). Każde miejsce ma w rzeczywistości swój kolor, strukturę, twardość itp., ale punkt abstrahuje od tych cech.

Każda figura w geometrii euklidesowej jest abstraktem.

Płaszczyzna euklidesowa jest abstraktem powierzchni Ziemi i jest to użyteczne np.w geodezji. Abstrahuje się w tym wypadku od drobnych (lub nawet większych) nierówności terenu.

Zbiór jest abstraktem. Abstrahujemy tutaj od wszystkich cech jego elementów poza tym, że są one elementami tego zbioru.

Tak zwany paradoksalny podział kuli Banacha - Tarskiego jest twierdzeniem abstrakcyjnym ze względu na korpuskularną naturę Świata. Ponadto jest przykładem roli idealizacji w odkrywaniu nowych własności obiektów znanych od dawna.

Bibliografia

D. Hilbert: Podstawy geometrii. Dodatek VIII O nieskończoności (tłum. ros.). Wyd. 1. 1948.
H. Weyl: Das Kontinuum.Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis. Lipsk, 1918.
K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.