Aksjomat - Polski Serwis Naukowy

Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

Aksjomat Archimedesa to aksjomat geometrii głoszący, że każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej. Został on wbrew nazwie sformułowany po raz pierwszy przez Eudoksosa, a nazwany w ten sposób przez Otto Stoltza w 1883. Geometrie nie spełniające go zwane są niearchimedesowymi.
Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.

Wyjaśnienie pojęcia aksjomatu

Matematyka jest zbiorem różnych teorii, takich jak geometria euklidesowa czy arytmetyka. Każda z nich operuje na specyficznym dla siebie zasobie pojęć. Matematycy mówią, że dana teoria jest wyrażona w języku opartym na określonym alfabecie.

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).
Kurt Gödel (1906-1978) – austriacki logik i matematyk; autor ważnych twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności bogatszych teorii dedukcyjnych (to znaczy takich, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych).

Przykład: elementami alfabetu geometrii (termami geometrii) mogą być:

symbol relacyjny $Pu(x)$ . Jeśli $Pu(x)$ jest prawdą, będziemy mówili, że $x$ to punkt,

symbol relacyjny $Pr(x)$ . Jeśli $Pr(x)$ jest prawdą, będziemy mówili, że $x$ to prosta,

symbol relacyjny $L(l, P)$ . Jeśli $L(l, P)$ jest prawdą, będziemy mówili, że punkt $P$ leży na prostej $l$ .

We wcześniejszych ujęciach logiki matematycznej powiedzielibyśmy, że punkt, prosta i relacja "punkt leży na prostej" są pojęciami pierwotnymi geometrii. Obecnie takie sformułowanie spotyka się coraz rzadziej.

Elementów tego alfabetu nie definiuje się formalnie podczas konstrukcji danej teorii. W naszym przypadku potrzebujemy tylko wiedzieć, że dla dowolnego rozważanego obiektu każdy z symboli relacyjnych może być prawdą lub fałszem. Konkretny sens jest im nadawany dopiero w procesie tworzenia modelu teorii, o czym dalej.

Język grecki albo greka — język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi.
Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

Teoria w logice jest zbiorem twierdzeń opisujących pewne relacje między jej pojęciami. Formalnie są to formuły zdaniowe, zapisywane w języku danej teorii z użyciem symboli jej języka i dodatkowo symboli logicznych, takich jak np. kwantyfikatory. Przykład: twierdzenie geometryczne „Przez dwa dowolne punkty można przeprowadzić prostą” można formalnie zapisać następująco: $Pu(A) \and Pu(B) \Rightarrow \exists_l\; Pr(l) \and L(l, A) \and L(l, B)$ czyli: Jeśli $A$ i $B$ są punktami, to istnieje taka prosta $l$ , że $A$ oraz $B$ leżą na $l$ .

Niektóre z tych twierdzeń dają się wyprowadzić z innych twierdzeń danej teorii. Dowodząc jakieś twierdzenie, musimy oprzeć dowód na innych twierdzeniach, które z kolei także należałoby udowodnić itd. Jeśli więc jakikolwiek dowód ma mieć skończoną długość, potrzeba jakichś zdań, których prawdziwość przyjmowalibyśmy bez dowodu. Takie zdania nazywane są aksjomatami, ich zbiór aksjomatyką.

John von Neumann (ur. 28 grudnia 1903 w Budapeszcie, zm. 8 lutego 1957 w Waszyngtonie) – matematyk, inżynier chemik, fizyk i informatyk. Wniósł znaczący wkład do wielu dziedzin matematyki - w szczególności był głównym twórcą teorii gier, teorii automatów komórkowych (w które pewien początkowy wkład miał także Stanisław Ulam), i stworzył formalizm matematyczny mechaniki kwantowej. Uczestniczył w projekcie Manhattan. Przyczynił się do rozwoju numerycznych prognoz pogody.
Arytmetyka (z greckiego αριθμός = liczba) - najstarsza część matematyki. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (elementarna arytmetyka).

Dana teoria może być zaksjomatyzowana na wiele różnych sposobów, przykładem jest tu geometria euklidesowa, dla której oprócz aksjomatów Euklidesa istnieje też aksjomatyka Hilberta i von Neumanna. Te dwie ostatnie są sobie równoważne, to znaczy każdą można wyprowadzić z tej drugiej. Aksjomatyka Euklidesa jest uboższa od nich, właściwie nie opisuje pełnej teorii geometrii euklidesowej, a jedynie jej podzbiór. Przykładem twierdzenia geometrycznego nie dającego się wyprowadzić z aksjomatów Euklidesa jest twierdzenie Pappusa-Pascala.

Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.
W logice matematycznej przez język rozumie się pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.

Formalnie aksjomatem może być dowolna niesprzeczna wewnętrznie formuła zdaniowa wyrażona w języku danej teorii. Wszelkie stosowane w praktyce aksjomaty są jednak zdaniami zawsze prawdziwymi w obrębie danej teorii (tautologiami), są wzajemnie niesprzeczne i odpowiadają również węższym definicjom podanym w poprzednim akapicie i na początku artykułu. Zwykle aksjomatyka jest też kategoryczna. Powody ku temu zostaną wyjaśnione w dalszej części artykułu.

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.
Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Modelowanie

Z teoriami matematycznymi związane są tzw. modele tych teorii. Stworzenie modelu oznacza określenie (zinterpretowanie) każdego z symboli języka danej teorii za pomocą symboli języka innej teorii. Przykład: dla dwuwymiarowej geometrii euklidesowej typowym modelem jest przestrzeń kartezjańska oparta na aksjomatach arytmetyki, gdzie:

punkt został zinterpretowany jako para uporządkowana liczb rzeczywistych (to znaczy formalnie $Pu(x)$ uznajemy za prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy $x$ jest parą takich liczb)

prosta została zinterpretowana jako zbiór tych par $(x, y)$ , spełniających równanie $(y_A-y_B)(x-x_B)-(x_A-x_B)(y-y_B)=0$

relacja „punkt leży na prostej” jako relacja przynależności do zbioru.

Modelowanie nie jest definiowaniem pojęć pierwotnych. Dla tej samej teorii można stworzyć różne modele, więc gdyby tak było, jedno pojęcie musiałoby mieć wiele sprzecznych definicji. Na przykład można zinterpretować punkt również jako parę uporządkowaną liczb algebraicznych (a nie liczb rzeczywistych), a prostą jako zbiór par $(x, y)$ liczb algebraicznych spełniających równanie $(y_A-y_B)(x-x_B)-(x_A-x_B)(y-y_B)=0$ .

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:
Alfred Tarski (ur. 14 stycznia 1901 w Warszawie, zm. 26 października 1983 w Berkeley, Kalifornia, USA) – polski matematyk i filozof pracujący przez wiele lat w Stanach Zjednoczonych.

Prawdziwość

Model danej teorii musi spełniać wszystkie jej aksjomaty (tym samym w semantycznym sensie podczas modelowania zakłada prawdziwość tych aksjomatów). Wówczas wszystkie udowodnione na ich bazie twierdzenia danej teorii stosują się także do tak "przetłumaczonych" pojęć. Model jest w pewnym sensie praktycznym zastosowaniem danej teorii matematycznej.

Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego bezpośredni (równoważny) wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Inne bardzo ważne twierdzenia Gödla to: twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna).
Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)