Aksjomat determinacji - Polski Serwis Naukowy

Aksjomat determinacji – zdanie w teorii mnogości postulujące zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak aksjomat AD, którego nie można udowodnić na gruncie aksjomatów ZF i który implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

Stanisław Mieczysław Mazur (ur. 1 stycznia 1905 we Lwowie, zm. 5 listopada 1981 w Warszawie) – polski matematyk, poseł na Sejm PRL I kadencji z ramienia PZPR (z okręgu Lublin).
Donald A. (Tony) Martin (ur. 24 grudnia 1940) – amerykański matematyk specjalizujący się w logice matematycznej i filozofii matematyki. Profesor matematyki i filozofii na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles (UCLA), dyrektor Centrum Logicznego na tymżesz uniwersytecie. Członek Amerykańskiej Akademii Sztuki i Nauki (j.ang. American Academy of Arts and Sciences).

W dalszej części tego artykułu będziemy używać oznaczeń i definicji wprowadzonych w artykule o grach nieskończonych.

Rys historyczny

Pierwsza gra nieskończona była opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.

W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego.

W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem analitycznym, to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

W 1975 Martin wykazał, że jeśli $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem borelowskim, to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.

W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu ${\mathbf P}_{\rm max}$ , które okazało się kluczowym elementem badań struktury $({\mathcal H}(\omega_2),\in,I_{NS}$ ) przy założeniu AD w ${\mathbf{L}}({\mathbb R})$ (gdzie $I_{NS}$ jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów $\omega_1$ , a ${\mathcal H}(\omega_2)$ jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy $<\omega_2$ ).

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.
Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)