Aksjomatyka Hilberta - Polski Serwis Naukowy

Aksjomatyka Hilberta to zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej podany przez Davida Hilberta w roku 1899 w jego pracy Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). System Hilberta jest podstawą większości współczesnych ujęć geometrii euklidesowej. Podana tu aksjomatyka nie pochodzi z oryginalnej pracy Hilberta (pierwotnie aksjomatów było 21), a z następnych jego prac i liczy 20 aksjomatów.

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Hilbert podał swój system aksjomatów po tym, jak pod koniec XIX wieku okazało się, że zestaw pewników Euklidesa podany w Elementach zawiera luki. System Hilberta jest już zupełny.

Pojęciami pierwotnymi (tj. niedefiniowalnymi) są: punkt, prosta, płaszczyzna, leżeć na, zawierać się w, pomiędzy, przystawać. Aksjomaty, opisujące własności pojęć pierwotnych podzielone są na grupy.

I. Aksjomaty incydencji

Dla dowolnych dwóch punktów A, B istnieje prosta a, zawierająca oba te punkty.
Dla dowolnych dwóch różnych punktów A, B istnieje co najwyżej jedna prosta zawierająca oba te punkty.
Na dowolnej prostej leżą co najmniej dwa różne punkty. Istnieją co najmniej trzy różne punkty, nieleżące na jednej prostej.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C, które nie leżą na tej samej prostej, istnieje płaszczyzna α zawierająca wszystkie te trzy punkty. Każda płaszczyzna zawiera co najmniej jeden punkt.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C, które nie leżą na tej samej prostej, istnieje dokładnie jedna płaszczyzna α zawierająca wszystkie te trzy punkty.
Jeżeli dwa punkty A, B leżące na prostej a leżą na płaszczyźnie α, to każdy punkt prostej a leży na płaszczyźnie α.
Jeżeli dwie płaszczyzny α i β mają punkt A wspólny, to mają co najmniej jeszcze jeden punkt wspólny B różny od A.
Istnieją co najmniej cztery punkty nieleżące w jednej płaszczyźnie.

II. Aksjomaty uporządkowania

Jeżeli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to punkty A, B, C są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej.
Dla dowolnych punktów A, C istnieje na prostej AC punkt B taki, że C leży pomiędzy A i B.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C jednej prostej jeden i tylko jeden leży pomiędzy pozostałymi dwoma.
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C nieleżących na jednej prostej i prostej a leżącej w płaszczyźnie ABC lecz nie zawierającej żadnego z punktów A, B, C: jeśli prosta a ma punkt wspólny z odcinkiem AB, to ma również punkt wspólny z odcinkiem AC lub odcinkiem BC.

Jest to tak zwany aksjomat Pascha. Jego nazwa pochodzi od nazwiska XIX-wiecznego matematyka niemieckiego Moritza Pascha, który pierwszy zauważył jego konieczność w systemie aksjomatów Euklidesa.

Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

III. Aksjomaty przystawania

Dla danych punktów A, B leżących na prostej a i danego punktu A' na a lub innej prostej a' , istnieje punkt B' na danej stronie a' taki, że odcinki AB i A'B' są przystające.
Jeżeli odcinki A'B' i A"B" są przystające do tego samego odcinka AB, to wówczas odcinek A'B' przystaje do odcinka A"B".
Dla danej prostej a i leżących na niej odcinków AB i BC takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest B oraz tej samej bądź innej prostej a' i leżących na niej odcinków A'B' i B'C' takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest B' : jeżeli AB przystaje do A'B' i BC przystaje do B'C' , to AC przystaje do A'C' .
Jeżeli $\angle$ ABC jest kątem, a B'C' półprostą, to na każdej stronie prostej B'C' istnieje dokładnie jedna półprosta B'A' taka, że kąt $\angle$ A'B'C' przystaje do kąta $\angle$ ABC. Jako wniosek otrzymujemy stąd, że każdy kąt przystaje do siebie samego.
Jeśli dla dwóch trójkątów ABC i A'B'C' odcinki AB, BC i AC przystają odpowiednio do odcinków A'B' , B'C' i A'C' , to trójkąty ABC i A'B'C' są przystające.

Aksjomat równoległości

Dla danej prostej a i punktu B nie leżącego na niej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej a i B co najwyżej jedna prosta zawierająca B i niemająca punktów wspólnych z a.

Jest to inne sformułowanie słynnego piątego pewnika Euklidesa.

David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie) - zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) - matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

Geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara) – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Aksjomaty ciągłości

(Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.
Nie istnieje rozszerzenie relacji określonej na dowolnym podzbiorze punktów prostej, która zachowuje uporządkowanie i przystawanie odcinków i spełnia wszystkie aksjomaty grup I–III oraz aksjomat Archimedesa.

Linki zewnętrzne

O aksjomatyce Hilberta

O aksjomatyce Hilberta na Mathworld