Algebra ogólna - Polski Serwis Naukowy

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Definicja

Niech $\mathfrak{F}$ będzie zbiorem i niech $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}_0$ .

Algebrą sygnatury $\varsigma\,$ jest para $\mathcal{A}=\langle A,\mathcal{J}\rangle$ , gdzie $A\,$ jest zbiorem (zwykle niepustym), a $\mathcal{J}$ jest funkcją, która elementowi $\mathfrak{f}$ zbioru $\mathfrak{F}$ przyporządkowuje $\varsigma(\mathfrak{f})$ -argumentowe działanie $\mathcal{J}(\mathfrak{f})$ w zbiorze $A\,$ . Zbiór $A\,$ nazywamy uniwersum algebry $\mathcal{A}$ , funkcję $\mathcal{J}$ interpretacją zbioru $\mathfrak{F}$ w algebrze $\mathcal{A}$ .

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).
Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w działanie mnożenia wektorów, które czyni z niej pierścień.

Dla danej algebry $\mathcal{A}$ , jego uniwersum oznacza się zazwyczaj jako $|\mathcal{A}|$ . Także zamiast pisać $\mathcal{J}(\mathfrak{f})$ pisze się $\mathcal{A}(\mathfrak{f})$ albo $\mathfrak{f}^{\mathcal{A}}$ .

Definicja alternatywna

Algebrą nazywamy zbiór G, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór $\Omega$ operacji n-arnych.

Zbiór symboli operacji $\Omega$ , dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Dla zapisu tego, że operacja $\omega \in \Omega$ jest n-arna używa się zapisu $\omega \in \Omega_n$ .

Obie definicje opisują ten sam obiekt: algebrę, zwaną też czasem algebrą ogólną lub algebrą uniwersalną $\omega$ . W pierwszej definicji zbiór $\mathfrak{F}$ jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, $\mathcal{J}$ jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja $\varsigma$ przypisuje nazwie operacji jej arność.

Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.
Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych.

Przykłady

Algebra Peano arytmetyki liczb naturalnych, $\mathfrak{N}\,$ . $\varsigma_\mathbf{PA}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{P}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&0&0\end{array}\right\rangle$ , $\mathfrak{N}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\; \mathfrak{N}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\;$ $\mathfrak{N}(\mathbf{P})(a,b)=a^b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0$ oraz $\mathfrak{N}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}(\mathbf{I})=1$
Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, $\mathfrak{N}^{(+)}\,$ . $\varsigma_\mathbf{Pr}= \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle$ , $\mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0 \quad \mbox{oraz}\quad \mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(+)}(\mathbf{I})=1.$
Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia, $\mathfrak{N}^{(\bullet)}\,$ . $\varsigma_\mathbf{Ceg}= \left\langle\begin{array}{c|c|c}\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&0&0\end{array}\right\rangle$ , $\mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{A})(a,b)=a\cdot b\,,\;\,a,b\in\mathbb{N}_0 \quad \mbox{oraz}\quad \mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{N}^{(\bullet)}(\mathbf{I})=1.$
Algebra arytmetyki liczb całkowitych, $\mathfrak{Z}\,$ . $\varsigma_\mathfrak{Z}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\mathbf{A}&\mathbf{M}&\mathbf{Sb}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle$ $\mathfrak{Z}(\mathbf{A})(a,b)=a+b\,,\; \mathfrak{Z}(\mathbf{M})(a,b)=a\cdot b\,,\; \mathfrak{Z}(\mathbf{Sb})(a,b)=a-b\,,\;a,b\in\mathbb{Z},$ $\mathfrak{Z}(\mathbf{N})(a)=-a\,,\;\;a\in\mathbb{Z}$ oraz $\mathfrak{Z}(\mathbf{O})=0\,,\;\mathfrak{Z}(\mathbf{I})=1.$
Algebra podzbiorów zbioru $X\,$ , $\mathfrak{P}_{(X)}\,$ . $\varsigma_\mathbf{BA}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{N}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&1&0&0\end{array}\right\rangle\,$ , $\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{J})(a,b)=a\cup b\,,\; \mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{M})(a,b)=a\cap b\,,\;\;a,b\in\wp(X)\,,\;$ $\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{N})(a)=X\setminus a\,,\;\;a\in\wp(X)\,,$ oraz $\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{O})=\emptyset\;\,,\;\mathfrak{P}_{(X)}(\mathbf{I})=X.$
Krata podzielności w $\mathbb{N}\,$ , $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}\,$ . $\varsigma_{\mathbf{B\cdot Lat}}= \left\langle\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf{J}&\mathbf{M}&\mathbf{O}&\mathbf{I}\\\hline2&2&0&0\end{array}\right\rangle\,$ , $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{J})(a,b)=\mathbf{nwd}\{a,b\}\,,\; \mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{M})(a,b)=\mathbf{nww}({a,b})\,,\;\;a,b\in\mathbb{N}\,\;$ (zob. nww, nwd)
oraz $\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{O})=1\;\,,\;\mathfrak{D}_{(\mathbb{N})}(\mathbf{I})=0.$

Redukty i wzbogacenia

Niech $\mathcal{A}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma\colon\mathfrak{F}\to\Bbb{N}$ i niech $\mathfrak{F}_0\subseteq\mathfrak{F}$ .

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Relacja dwuargumentowa, dwuczłonowa albo binarna – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, która formalizuje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (dane dwa elementy pozostają w związku albo łączy je pewna zależność lub nie). Do najważniejszych relacji tego rodzaju należy zaliczyć funkcje i działania jednoargumentowe (zob. Własności). Pojęcie relacji (dwuargumentowych) uogólnia się na klasy: ma to na celu opisanie przykładowo równości różnych obiektów jako relacji między nimi i ominięcie przy tym różnych paradoksów związanych z teorią mnogości (np. zbiór wszystkich zbiorów).

Reduktem prostym algebry $\mathcal{A}$ do $\mathfrak{F}_0$ nazywamy algebrę $\mathcal{A}|_\mathfrak{F_0}=\langle A,\mathcal{J}|_\mathfrak{F_0}\rangle$ .

Przykłady

$\mathfrak{N}^{(+)}$ i $\mathfrak{N}^{(\bullet)}$ są reduktami prostymi $\mathfrak{N}$

Algebrę $\mathfrak{P}_{(X)}|_{\{\mathbf{J},\mathbf{M}\}}$ nazywamy kratą podzbiorów zbioru $X\,$ .

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni, czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Znaki diakrytyczne (gr. diakritikós – odróżniający) – znaki graficzne używane w alfabetach i innych systemach pisma, umieszczane nad, pod literą, obok lub wewnątrz niej, zmieniające artykulację tej litery i tworzące przez to nową literę. W alfabetach sylabowych mogą zmienić znaczenie całej sylaby.
Półgrupa to struktura algebraiczna, na którą składa się pewien zbiór wraz z określonym w nim działaniem, przy czym działanie to musi być łączne i wewnętrzne. Szczególnymi przypadkami półgrup są monoid i grupa.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)