Analiza zespolona - Polski Serwis Naukowy

Analiza zespolona - dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych - w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Jej zastosowania sięgają teorii liczb, teorii fraktali, matematyki stosowanej, teorii przestrzeni Hilberta a także pewnych dziedzin fizyki.

Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (ur. 31 października 1815 w Ostenfelde w Westfalii, zm. 19 lutego 1897 w Berlinie) – niemiecki matematyk, zwolennik arytmetyzacji analizy matematycznej, twórca precyzyjnego pojęcia granicy funkcji.

W analizie zespolonej kluczową rolę odgrywają pojęcia funkcji analitycznych (holomorficznych) i meromorficznych. Dla funkcji zespolonych, podobnie jak dla rzeczywistych, definiuje się pojęcia granicy funkcji, ciągłości, ciągłości jednostajnej, różniczkowalności, funkcji wykładniczej. Na dziedzinę zespoloną, oprócz funkcji wykładniczej, łatwo da się uogólnić funkcje trygonometryczne, hiperboliczne czy wielomiany. Nieco odmiennej definicji wymaga pojęcie logarytmu liczby zespolonej.

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Matematyka stosowana - gałąź matematyki, zajmująca się przede wszystkim technikami i ich stosowaniem w innych dziedzinach. Interakcja między zastosowaniami matematyki a rozwojem matematyki czystej powoduje, iż obszar matematyki stosowanej nie jest precyzyjnie zdefiniowany. Zalicza się do niej działania rozwijające aparat matematyczny na potrzeby innych nauk, w szczególności medycyny, biologii, informatyki i techniki. Można wyróżnić w niej działy takie jak:

Zdarza się jednak, że wprowadzenie analogicznej definicji pewnego pojęcia dla funkcji zespolonych, jak dla rzeczywistych, niesie ze sobą daleko idące konsekwencje. Na przykład: jeśli $D$ jest obszarem oraz funkcja $f$ ma w tym obszarze ciągłą pochodną (jest klasy $C^1$ ), to ma w tym obszarze wszystkie pochodne (jest klasy $C^{\infty}$ ). Dla funkcji zespolonych łatwiej podać, niż w przypadku funkcji rzeczywistych (piła Weierstrassa), przykład funkcji wszędzie ciągłej i nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie: funkcja sprzężenia $f(z)=\overline{z}$ jest ciągła w każdym punkcie $z\in \mathbb{C}$ i nieróżniczkowalna w żadnym z nich.

Zmienna – symbol, oznaczający wielkość, która może przyjmować rozmaite wartości. Wartości te na ogół należą do pewnego zbioru, który jest określony przez naturę rozważanego problemu. Zbiór ten nazywamy zakresem zmiennej.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Począwszy od schyłku XVIII wieku, aż do początków XX wieku znaczny wpływ na rozwój tej dziedziny wiedzy mieli tacy matematycy jak Leonard Euler, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann, Augustin Cauchy (Warunki Cauchy-Riemanna), Karl Weierstrass oraz wielu innych aż do dnia dzisiejszego.

Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

Funkcja meromorficzna - w analizie zespolonej, funkcja f, określona na otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze , gdzie oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji f.

Ważnymi pojęciami i twierdzeniami analizy zespolonej są także:

Funkcje jedno- i wielokrotne

Szereg Laurenta

Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego

Wzór całkowy Cauchy'ego

Wikimedia Commons ma galerię ilustracji związaną z tematem:
Analiza zespolona