Aproksymacja - Polski Serwis Naukowy

Aproksymacja – proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Przeważnie aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi.

Zadanie najlepszej aproksymacji

Niech dana będzie przestrzeń liniowa $X$ z normą $\|\cdot\|$ i niech $V \subset X$ będzie podprzestrzenią liniową $X$ skończonego wymiaru. Zadanie najlepszej aproksymacji polega na znalezieniu takiego $v^* \in V$ (elementu najlepszej aproksymacji dla danego $x \in X$ ), że zachodzi: $\displaystyle{\forall{v \in V}}\quad\|x - v^*\| \leqslant \|x-v\|$

Należy przez to rozumieć, że element $v^*$ jest elementem "najbliższym" do aproksymowanego $x$ spośród wszystkich elementów $v \in V$ .

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Aktywność biologiczna lub farmakologiczna - termin określający wpływ danej substancji bądź leku na organizm pacjenta (w szczególności człowieka), związany między innymi z własnościami fizykochemicznymi, chemicznymi i przestrzennymi tej substancji. Substancje uważa się za aktywną biologicznie, jeżeli wywiera jakikolwiek wpływ na tkankę pacjenta, natomiast aktywność farmakologiczna wskazuje zwykle na korzystne skutki substancji i możliwość jej zastosowania jako leku.

Zadanie najlepszej aproksymacji jest zawsze rozwiązywalne tzn. dla każdego $x \in X$ istnieje element najlepszej aproksymacji $v^*$ , ale niekoniecznie jest on jedyny. Należy zauważyć, że element najlepszej aproksymacji zależy od normy, jaka została przyjęta w przestrzeni $X$ .

Zadanie najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unitarnych

Niech $X$ będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym i niech norma w $X$ będzie generowana tym iloczynem: $\|x\|= \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .

Aproksymacja średniokwadratowa to aproksymacja, której celem jest minimalizacja błędu na przedziale [a,b]. Istotność błędu w poszczególnych punktach mierzy się za pomocą funkcji wagowej w(x). Jeśli funkcję f(x) próbuje się przybliżać za pomocą g(x), to minimalizuje się błąd:

Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia.

Wtedy element najlepszej aproksymacji jest jedyny i jest określony następującą tożsamością $\forall{v \in V}\ \ \langle x-v^*, v \rangle = 0$

Aproksymacja funkcji

Aproksymacje można wykorzystać w sytuacji, gdy nie istnieje funkcja analityczna pozwalająca na wyznaczenie wartości dla dowolnego z jej argumentów, a jednocześnie wartości tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Mogą to być na przykład wyniki badań aktywności biologicznej dla wielu konfiguracji leków. Do wyznaczenia aproksymowanej aktywności biologicznej nieznanego leku można wówczas zastosować jedną z wielu metod aproksymacyjnych.

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, dla elementów której określone jest pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną dodatkową własność, związaną z ich strukturą metryczną. Historycznie to własnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

Aproksymowanie funkcji może polegać na przybliżaniu jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. funkcji bazowych. Od funkcji aproksymującej, przybliżającej zadaną funkcję nie wymaga się, aby przechodziła ona przez jakieś konkretne punkty, tak jak to ma miejsce w interpolacji. Z matematycznego punktu widzenia aproksymacja funkcji $f$ w pewnej przestrzeni Hilberta $H$ jest zagadnieniem polegającym na odnalezieniu pewnej funkcji $g\in G,$ gdzie $G$ jest podprzestrzenią $H$ tj. $G\subset H$ takiej, by odległość (w sensie obowiązującej w $H$ normy) między $f$ a $g$ była jak najmniejsza. Funkcja aproksymująca może wygładzać daną funkcję (gdy funkcja jest gładka, jest też różniczkowalna).

Aproksymacja punktowa to rodzaj aproksymacji pozwalający przybliżyć zbiór punktów funkcją ciągłą. Aproksymacja ta, w odróżnieniu od większości innych metod aproksymacji, nie wymaga znajomości postaci analitycznej funkcji aproksymowanej.

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.

Aproksymacja funkcji powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji. Dużą zaletą aproksymacji w stosunku do interpolacji jest to, że aby dobrze przybliżać, funkcja aproksymująca nie musi być wielomianem bardzo dużego stopnia (w ogóle nie musi być wielomianem). Przybliżenie w tym wypadku rozumiane jest jako minimalizacja pewnej funkcji błędu. Prawdopodobnie najpopularniejszą miarą tego błędu jest średni błąd kwadratowy, ale możliwe są również inne funkcje błędu, jak choćby błąd średni.

Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja.

Istnieje wiele metod aproksymacyjnych. Jednymi z najbardziej popularnych są: aproksymacja średniokwadratowa i aproksymacja jednostajna oraz aproksymacja liniowa, gdzie funkcją bazową jest funkcja liniowa.

Wiele z metod aproksymacyjnych posiada fazę wstępną, zwaną również fazą uczenia oraz fazę pracy. W fazie wstępnej, metody te wykorzystując zadane pary punktów i odpowiadających im wartości aproksymacyjnych niejako „dostosowują” swoją strukturę wewnętrzną zapisując dane, które zostaną wykorzystane później w fazie pracy, gdzie dla zadanego punktu dana metoda wygeneruje odpowiadającą mu wartość bądź wartości aproksymowane.

Zobacz też

aproksymacja diofantyczna

aproksymacja punktowa