Argument liczby zespolonej - Polski Serwis Naukowy

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną $z$ na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: $\arg(z)$ .

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność $2\pi$ . Argument sprowadzony do przedziału $[0, 2\pi)$ , lub $(-\pi, \pi]$ , nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie: $\mbox{Arg}(z)$ .

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

Kąt skierowany – para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.

Kąt (płaski) – w geometrii euklidesowej każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Innymi słowy jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn, wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami (nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).

$a+bi = r(\cos \phi + i \sin \phi)\;$ ,

gdzie $r=\sqrt{a^2+b^2}=|z|$ jest modułem liczby zespolonej, a $\phi$ jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej składowej rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru: $\varphi=\begin{cases} \operatorname{arc tg}\left({b \over a}\right), & \mbox{gdy } a > 0 \\ \operatorname{arc tg}\left({b \over a}\right)+\pi, & \mbox{gdy }a < 0 \end{cases}$

Dla liczb czysto urojonych (o zerowej składowej rzeczywistej), $z = bi$ : $\varphi = \begin{cases}{1\over 2}\pi, & \mbox{gdy } b > 0 \\ -{1\over 2}\pi, & \mbox{gdy } b < 0 \end{cases}$

Dla liczby $z = 0$ , która ma obie składowe zerowe, argument jest nieokreślony.

Niech $a+bi= r (\cos \phi + i \sin \phi)\;$ oraz niech $c+di = \rho(\cos \psi + i \sin \psi)\;$ , wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.

$(a+bi) \cdot (c+di) = r \cdot \rho (\cos (\phi+\psi) + i \sin(\phi+\psi))$

$\frac{a+bi}{c+di} = \frac r \rho (\cos(\phi-\psi) + i \sin(\phi-\psi))$

Przypisy

Mostowski, Stark - Elementy algebry wyższej
Bogdan Miś - Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki
Reinhardt, Soeder - Atlas matematyki
Mathworld
Encyklopedia szkolna - Matematyka