Arytmetyka modularna - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy systemu liczbowego w matematyce. Zapoznaj się również z: sposoby realizacji w informatyce.

Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).

Kongruencja a. przystawanie – relacja równoważności określona w danym systemie algebraicznym. Jedną z najbardziej znanych kongruencji jest przystawanie liczb całkowitych.
Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.

Arytmetyka modularna pojawia się wszędzie tam, gdzie występuje powtarzalność i cykliczność; dotyczy ona samego mierzenia czasu i jako taka jest podstawą działania kalendarza (zob. dalej). Ponadto korzysta się z niej w teorii liczb, teorii grup, kryptografii, informatyce, przy tworzeniu sum kontrolnych, a nawet przy tworzeniu wzorów. Zasada działania szyfru RSA oraz test Rabina-Millera opierają się na własnościach mnożenia w arytmetyce modularnej liczb całkowitych o module wyrażającym się dużą liczbą pierwszą.

Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.
Dzielnik – w matematyce dla danej liczby całkowitej liczba całkowita, która dzieli ją bez reszty. W matematyce elementarnej dzielnikiem nazywa się dowolną liczbę, przez którą się dzieli.

Wyraz modulo w żargonie jest używany jako „z dokładnością do”, na przykład: „Protokoły HTTP i HTTPS są identyczne modulo szyfrowanie” (tj. jedyną różnicą między http i https jest szyfrowanie).

Motywacja

Zapoznaj się również z: zegar.

Wskazania zegara 12-godzinnego jako przykład zastosowania arytmetyki modularnej.

Przykładem może być zegar 24-godzinny, w którym doba podzielona jest na 24 godziny numerowane od 0 do 23. Każdej z nich można jednoznacznie przyporządkować okres w ciągu doby, który minął od godziny 0:00 do tej właśnie godziny – np. godzinie 7:00 można przyporządkować okres 7 godzin – można sobie wyobrażać, że w pewnym momencie ustawiono minutnik na 7 godzin. W ten sposób jeśli zegar wskazuje godzinę 20:00, to znaczy, że od godziny 0:00 minęło 20 godzin; podobnie jeśli zegar wskazuje godzinę 8:00, to oznacza, że godzina 0:00 była dokładnie 8 godzin temu.

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
Czas – skalarna wielkość fizyczna określająca kolejność zdarzeń oraz odstępy między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu. Pojęcie to było również przedmiotem rozważań filozoficznych.

Jeżeli weźmie się jednak pod uwagę okresy dłuższe niż jedna doba, to wspomniane przyporządkowanie nie jest jedynym możliwym: jeśli teraz jest godzina 0:00, to godzinę 4:00 zegar będzie wskazywać tak po 4 godzinach, jak i po 28 godzinach – ogólnie będzie on wskazywał tę samą godzinę po upływie dowolnej liczby pełnych dób (wielokrotności 24 godzin), czyli: wskazania zegara 24-godzinnego powtarzają się co 24 godziny.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Tydzień – pozaukładowa jednostka miary czasu, okres 7 dni. Ta miara czasu związana jest z fazami Księżyca i odpowiada mniej więcej 1/4 miesiąca. Znany już był Babilończykom w drugim tysiącleciu p.n.e. Tydzień został wprowadzony do urzędowego kalendarza Cesarstwa Rzymskiego w 321 r. n.e., a później został przyjęty w średniowiecznym kalendarzu kościelnym. W kalendarzu gregoriańskim tydzień ma siedem dni wg porządku: niedziela, poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota.

Obserwacje dotyczące wskazań zegara po dwóch okresach umożliwiają określenie wskazania zegara po upływie czasu równego sumie długości tych okresów: jeżeli zegar wskazywał godzinę 0:00 i upłynęło 19 godzin (wskazuje więc on godzinę 19:00), a następnie kolejne 8 godzin (zegar nastawiony na 0:00 wskazywałby po tym czasie godzinę 8:00), to zegar nie będzie wskazywał godziny „27:00”, lecz godzinę 3:00 – tak, jak gdyby od 0:00 minęły tylko 3 godziny.

Twierdzenie o dzieleniu z resztą – twierdzenie matematyczne mówiące o możliwości przedstawienia danej liczby całkowitej, dzielnej, w postaci sumy iloczynu ilorazu przez (niezerowy) dzielnik oraz reszty. Innymi słowy twierdzenie mówi, ile razy (iloraz) dana liczba (dzielnik) mieści się w całości w innej (dzielna) oraz jaka część (reszta) tej liczby nie została wydzielona. Stosuje się także skróconą wersję nazwy: twierdzenie o dzieleniu.
Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – nauka o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.

Można więc wprowadzić następujące dodawanie wskazań zegara: sumą dwóch godzin jest godzina, którą wskazywałby zegar po upływie okresu od 0:00 do pierwszej z godzin powiększonego o okres, który upłynąłby od 0:00 do drugiej z godzin. Oznacza to, że jeżeli okres jest niemniejszy niż 24 godziny, to zegar wskazywać będzie godzinę równą temu okresowi pomniejszonemu o okres 24 godzin. W ten sposób sumą godzin 12:00 i 21:00 jest godzina 9:00 (a nie 33:00). Cofaniu zegara odpowiadałyby „ujemne” okresy, tym zaś „ujemne” wskazania zegara: okresowi −7 godzin (7 godzin wstecz) odpowiada wskazanie zegara sprzed 7 godzin, gdy wskazuje on w tym momencie godzinę 0:00 – na zegarze 24-godzinnym jest to godzina 17:00. Dlatego też różnicą godzin 3:00 i 4:00 jest godzina 23:00 (a nie −1:00).

Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.
Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Upływ czasu liczy się więc zgodnie z arytmetyką liczb całkowitych, z kolei wskazania zegara są zgodne z arytmetyką modularną o module 24: mierzenie czasu na zegarze rozpoczyna się o godzinie 0:00 „zerując się” po osiągnięciu 24:00, z kolei gdy wskazówka zegara cofa się mijając godzinę 0:00, zegar wskazuje godzinę wcześniejszą niż 24:00.

Logarytm dyskretny elementu b (przy podstawie a) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita c, że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):
Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

W ten sam sposób można rozpatrywać obliczenia na dniach tygodnia (wykonywane modulo 7) lub na miesiącach (modulo 12). Prawa działań na liczbach takie jak liczba nieparzysta + liczba parzysta = liczba nieparzysta (zob. parzystość liczb) dają się opisać za pomocą arytmetyki modulo 2.

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.
Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)