Brachistochrona - Polski Serwis Naukowy

Brachistochrona

Brachistochrona to krzywa, po której czas staczania się masy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos (βραχιστoς) - "najkrótszy" i chronos (χρovoς) - "czas".

Johann Bernoulli ( ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 , tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony.

Język grecki albo greka — język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Jakuba Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Jana Bernoulliego oraz de L'Hospitala. Okazało się, że brachistochroną jest fragment cykloidy.

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.

Rozwiązanie zagadnienia

Załóżmy, że równanie szukanej krzywej to $y = y(x)$ . Wtedy punkty $A$ i $B$ mogą być zapisane następująco: $A = (a,y(a))$ oraz $B = (b,y(b))$ . Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako: $F(y(x)) = \int\limits_a^b \frac{ds}{v}$

gdzie $ds = \sqrt{1+y'(x)^2}dx$ to długość krzywej, zaś $v = y'(x)$ jest prędkością, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii: $\frac{1}{2}mv^2 = mg(y(a)-y(x))$

stąd:

Tautochrona lub izochrona – krzywa, po której czas staczania się masy punktowej pod wpływem stałej siły ciężkości do najniższego jej punktu jest taki sam, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej. Nazwa pochodzi o złożenia greckich słów: tautos (ταυτoς) oznaczającego: "taki sam" i chronos (χρovoς): "czas".

Masa – jedna z podstawowych . W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.

$v = \sqrt{2g(y(a)-y(x))}$

Wyrażenia na $ds$ i $v$ można teraz wstawić do wyjściowej całki: $F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2g(y(a)-y(x))}}dx$

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt $A$ jako $A = (0,0)$ , co uprości dalsze rachunki. Załóżmy również, że oś y skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału: $F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}}dx$

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej $x$ możemy zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego ( $f - y'\frac{\partial f}{\partial y'}=C$ ):

Krzywa – pojęcie matematyczne, jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, geometria różniczkowa stosowane również w mowie potocznej. Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Od poprawnej definicji wymaga się, aby była to „dowolna linia” na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta, która w szczególności mogłaby rozgałęziać się i przerywać.

Gottfried Wilhelm Leibniz, znany także pod nazwiskiem Leibnitz (ur. 1 lipca 1646 w Lipsku, zm. 14 listopada 1716 w Hanowerze) – niemiecki filozof, matematyk, prawnik, inżynier–mechanik, fizyk, historyk [1] i dyplomata.

$\sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}} - \sqrt{\frac{2gy(x)}{1+y'(x)^2}} \frac{y'(x)^2}{2gy(x)} = C$

gdzie $C$ oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymujemy: $y(x)(1+y'(x)^2) = \frac{1}{2gC^2} = k^2$

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci: $x(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (\theta - sin\theta)$ $y(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (1-cos\theta)$

Zobacz też

rachunek wariacyjny,

tautochrona.