Całka - Polski Serwis Naukowy

Całkę oznaczoną na przedziale [a, b] z funkcji f, można interpretować jako różnicę pól powierzchni figur ograniczonych prostymi x = a, x = b, wykresem funkcji f oraz osią x: części nad osią oraz pod nią.

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – wyraża fakt, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej całki nieoznaczonej jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.
Miara wektorowa – addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Całki można sobie wyobrazić jako sumy nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości, takich jak np. wartość funkcji pomnożona przez jej nieskończenie małą różniczkę: $f(x) dx$ (co znajduje odzwierciedlenie w podejściu Riemanna, zob. dalej). Jest to oczywiście określenie nieścisłe i nieformalne, choć używane w początkach rachunku całkowego przez G. W. Leibniza. Dziś ma ono znaczenie jedynie poglądowe i historyczne, a poszczególne rodzaje całek są definiowane ściśle. Są one szczegółowo opisane w oddzielnych artykułach:

Rachunek różniczkowy i całkowy to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcie granicy. W szczególności własności funkcji bada się za pomocą ich pochodnych i całek.
Całka wymiany - całka opisująca oddziaływanie wymienne między dwoma stanami prowadzące do zamiany ich współrzędnych. Często stosowana do ilościowego opisu poruszających się kwazicząstek w stanie Néela oraz w fizyce molekularnej.

Całka oznaczona – intuicyjnie: pole powierzchni między wykresem funkcji $f(x)$ w pewnym przedziale $[a,b]$ , a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.

Całka Riemanna, całka Darboux – najprostsze (równoważne ze sobą) definicje całki oznaczonej (zobacz rysunek obok), jednak nie obejmujące wielu ważnych funkcji. Stąd powstało wiele uogólnień tych całek na szerszą klasę funkcji:

Całka niewłaściwa (Riemanna) – uogólnienie całki Riemanna na niektóre funkcje określone na przedziałach nieskończonych oraz na niektóre funkcje nieograniczone na przedziałach skończonych bądź nie.

Całka Riemanna-Stieltjesa – uogólnienie całki niewłaściwej, gdy obszarem całkowania nie jest przedział, lecz zbiór wartości pewnej funkcji.

Całka Russo-Vallois – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa.

Całka Daniella-Stone'a.

Całka Henstocka-Kurzweila (inne nazwy: całka Denjoy, całka Perrona, całka Denjoy-Perrona).

Całka Lebesgue'a – najczęściej stosowane uogólnienie całki Riemanna. Rozszerza klasę całkowalnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pozwala także na całkowanie funkcji określonych na innych przestrzeniach mierzalnych i w tym sensie wykracza poza tradycyjne rozumienie całki oznaczonej. Całka Lebesgue'a ma własne uogólnienia i szczególne przypadki:

całka Lebesgue'a-Stieltjesa – odpowiednik całki Riemanna-Stieltjesa, gdzie funkcja jest całkowana tak jak w całce Lebesgue'a;

całka Haara – całka Lebesgue'a dla funkcji mierzalnych względem miary Haara, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich lokalnie zwartej grupy topologicznej.

Całkowanie w przestrzeniach funkcyjnych.

Całka względem miary wektorowej – całka z funkcji skalarnej względem miary wektorowej.

Rodzaje całek z funkcji o wartościach wektorowych (np. w przestrzeniach Banacha bądź szerszej klasie przestrzeni):

całka Pettisa, całka Gelfanda;

całka Dunforda;

całka McShane'a;

całka Bochnera.

Całka Bartle'a – całka z funkcji o wartościach wektorowych względem miar wektorowych.

Całka nieoznaczona (albo funkcja pierwotna) – pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji (zob. podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Całkę oznaczoną na przedziale $[a, b]$ można też zdefiniować (tzw. całka Newtona-Leibniza) jako różnicę między wartościami całki nieoznaczonej w punktach $b$ oraz $a$ . Stąd obliczenie całki nieoznaczonej jest często pierwszym krokiem przy obliczaniu całek oznaczonych.

Całka równania różniczkowego – rozwiązanie równania różniczkowego. Jest to uogólnienie całki nieoznaczonej, która także jest rozwiązaniem równania różniczkowego $F^\prime (x)=f(x),$

gdzie $F(x)$ jest pierwotną, a $f(x)$ oznacza całkowaną funkcję.

Całka krzywoliniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna krzywa.

Całka powierzchniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna powierzchnia, np. pewne koło, albo połowa sfery. Całka krzywoliniowa i całka powierzchniowa to szczególne przypadki całki na hiperpowierzchni. W nowoczesnej teorii całkowania, traktuje się je jako całki Lebesgue'a względem pewnych niezmienniczych miar, określonych na σ-ciałach związanych z daną hiperpowierzchnią.

Całka podwójna – potocznie: całka z całki (z parametrem). Analogicznie całka potrójna, i ogólnie wielokrotna. Obecnie, całki $n$ -krotne traktuje się jako całki Lebesgue'a względem $n$ -wymiarowej miary Lebesgue'a.

Całka stochastyczna – specjalny rodzaj całki używany w rachunku prawdopodobieństwa. Ma kilka wersji:

całka Paleya-Wienera (całka Paleya-Wienera-Zygmunda);

całka Itō – najpowszechniej używana całka stochastyczna;

całka Stratonowicza – najczęstsza alternatywa dla całki Itō, czasem wygodniejsza.

Niektóre przypadki całek oznaczonych i nieoznaczonych dla pewnych szczególnych funkcji mają własne nazwy:

Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).
Splot – w matematyce działanie dwuargumentowe znajdujące zastosowania także poza nią, m.in. w informatyce i automatyce; nazwą tą nazywa się również wynik tego działania, które bywa nazywane także mnożeniem splotowym.

całki eliptyczne;

całka abelowa;

całka Duhamela (pochodna splotu funkcji);

Operacja wyznaczania całki (całkowanie) nie jest łatwa. Całki niektórych funkcji nie istnieją, a niektórych innych funkcji nie dają się zapisać za pomocą standardowych funkcji matematycznych. Często całkowanie jest twórczym procesem nie opierającym się na żadnym ścisłym algorytmie. Co prawda, algorytm Rischa pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Ale ten algorytm jest bardzo długi i skomplikowany, a dlatego rzadko stosowany; ponadto nie obejmuje on całek wyrażonych przez funkcje specjalne.

Odcięta (łac. abscissa) - pierwsza współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem x, a jej oś symbolem OX.
Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Zwykle w praktycznych problemach całkuje się numerycznie lub próbuje się sprowadzić całkę (m.in. za pomocą tzw. całkowania przez podstawienie, całkowania przez części, przekształceń algebraicznych, lub trygonometrycznych) do znanych całek, których szuka się w tablicach.

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)