Całka Lebesgue'a

Ten artykuł dotyczy ścisłej matematycznej definicji całki Lebesgue'a. Zapoznaj się również z: poglądowe ujęcie.

Całka Lebesgue'a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue'a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego – wyraża fakt, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła f, to pochodna jej całki nieoznaczonej jest równa f. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.

Sam Lebesgue tak porównywał swoją definicję z klasyczną całką Riemanna: Wyobraźcie sobie, że należy zapłacić pewną sumę; można w tym celu wyciągać pieniądze z portmonetki po kolei, aby uzbierać potrzebną kwotę albo wyjąć wszystkie naraz i wybrać odpowiednie walory. Pierwsza metoda to całka Riemanna, druga odpowiada mojemu pojęciu całki. Wyjaśnić można to następująco: w metodzie Riemanna przebiega się dziedzinę funkcji i mierzy „wysokość” wykresu po kolei w każdym miejscu, podczas gdy metoda Lebesgue'a bierze pod uwagę najpierw zbiór wartości funkcji i stosownie do tego wybiera kawałki dziedziny.

Miara Radona – w teorii miary lokalnie skończona i wewnętrznie regularna miara określona na σ-ciele zbiorów borelowskich topologicznej przestrzeni Hausdorffa.
Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Jeżeli dla danej funkcji istnieje całka Riemanna, to jest ona równa całce Lebesgue'a tej funkcji. Jednak zasadnicza przewaga całki Lebesgue'a jako narzędzia matematycznego opisu nie polega jedynie na teoretycznie większej ogólności definicji. W praktyce najistotniejsze jest, że nowa całka współgra z pojęciem granicy punktowej ciągu funkcji i w opisie matematycznym można zamieniać kolejność operacji liczenia całki i granicy. Obecnie całka Lebesgue'a jest jednym z podstawowych narzędzi współczesnej matematyki i nauk ją wykorzystujących.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Całka Riemanna jest konstrukcją związaną nierozerwalnie z przestrzeniami euklidesowymi; uogólnienie autorstwa Lebesgue'a umożliwia całkowanie funkcji określonych na ogólniejszych przestrzeniach z miarą. Niżej naszkicowane podejście jest jednym z wielu możliwych.

Wprowadzenie

Konstrukcja zbiorów Ai; liczby ci leżą na wysokości czerwonych odcinków

Całka Riemanna jest związana z miarą Jordana, która jest tylko skończenie addytywną funkcją zbioru. Innymi słowy jeśli zakłada się, że miara sumy skończonej liczby zbiorów rozłącznych jest równa sumie miar poszczególnych zbiorów. Jednym z podstawowych kroków na drodze ku rozszerzeniu pojęcia całki Riemanna na funkcje typu funkcji Dirichleta było zastąpienie miary Jordana miarą Lebesgue'a, która jest już przeliczalnie addytywna, tzn. taka, że własność sumowania zachodzi także dla nieskończonej ilości zbiorów rozłącznych (zgodnie z tą obserwacją generalizacji uległo także ogólne pojęcie miary).

Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).
Twierdzenie Fubiniego - jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Definicja całki związanej z miarą Lebesgue'a wymaga zmiany spojrzenia na proces mierzenia obszaru. W definicji całki Riemanna dziedzina funkcji jest dzielona na krótkie przedziały. Tymczasem przy obliczaniu całki Lebesgue'a to nie dziedzina, ale przeciwdziedzina całkowanej funkcji jest dzielona na skończenie wiele przedziałów.

Nicolas Bourbaki – pseudonim grupy francuskich matematyków, którzy w roku 1935 założyli działające przy École normale supérieure w Paryżu stowarzyszenie Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki.
Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Dla ułatwienia opisu założone zostanie, iż przeciwdziedzina dodatniej funkcji $f$ jest zawarta w przedziale $[0, b].$ Aby znaleźć przybliżenie wartości pola obszaru pod wykresem funkcji $f,$ należy podzielić przedział $[0, b]$ na rozłączne podprzedziały o końcach w punktach $0 = a_0 < a_1 < \dots < a_n < a_{n+1} = b.$

Jeżeli przyjąć $A_i = f^{-1}\bigl((a_i, a_{i+1}]\bigr)$ (por. rysunek) i wybrać liczby $c_i \in (a_i,a_{i+1})$ (na rysunku liczby te znajdują się na wysokości czerwonych odcinków), to każdy z obszarów $A_i \times [0, c_i]$ ma pole, które równe jest mierze $|A_i|$ zbioru $A_i$ pomnożonej przez $c_i.$ Otrzymane w ten sposób obszary są parami rozłączne, można zatem oczekiwać, że suma ich pól będzie dobrym przybliżeniem do pola obszaru pod funkcją $f$ – tym lepszym im drobniejszy był początkowy podział zbioru wartości za pomocą liczb $a_i.$ Ściśle podejście to realizuje się poprzez przybliżanie zadanej funkcji funkcjami prostymi, czyli takimi, które mają tylko skończenie wiele wartości przyjmowanych na mierzalnych podzbiorach dziedziny.

Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1, gdy argument jest liczbą wymierną i wartość 0, gdy argument jest liczbą niewymierną.
Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Konstrukcja

Oznaczenia

Dalej stosowana będzie następująca konwencja skracająca zapis: symbole $f = g,\; f \leqslant g,\; f < g,\; f > g,\; f \geqslant g$

oznaczać będą odpowiednie relacje, tzn. $f(x) = g(x),\; f(x) \leqslant g(x),\; f(x) < g(x),\; f(x) > g(x),\; f(x) \geqslant g(x)$

dla wszystkich elementów $x$ należących do ustalonego zbioru lub też całej dziedziny, jeśli nie zostanie zaznaczone inaczej. Podobnie będzie miała się rzecz z funkcjami $\max, \min$ (minimum i maksimum) i im podobnymi.

Całkę Lebesgue'a wprowadza się zwykle wraz z miarą Lebesgue'a $\lambda$ jako uogólnienie całki Riemanna w przestrzeniach euklidesowych. Jednak wybór miary zależy od zastosowań, sama zaś konstrukcja obowiązuje dla szerszej klasy przestrzeni. Z tego powodu wszędzie, gdzie będzie to można zrobić bez szkody dla jasności wywodu oznaczenie miary $\mu$ przy całce, tzn. $\operatorname d\mu,$ będzie konsekwentnie będzie pomijane:

Zbiór skończony - oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem {1, 2, ..., n} dla pewnej liczby naturalnej n. Definicja ta obejmuje również zbiór pusty, wystarczy przyjąć n = 0.
Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.

$\int f \;\operatorname d\mu\ \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \int f,$

co wydatnie wpłynie na przejrzystość wzorów. Na podobnej zasadzie opuszczane będzie też wskazanie miary $\mu$ w przy mierzalności zbiorów, czy funkcji (zob. niżej).

Funkcje mierzalne i proste

Zapoznaj się również z: funkcja mierzalna i funkcja prosta.

Niech dana będzie przestrzeń z miarą $(X, \mathfrak M, \mu).$ Elementy σ-ciała $\mathfrak M$ określonego na przestrzeni $X$ nazywa się zbiorami $\mu$ -mierzalnymi względem $\mathfrak M.$ Miara $\mu$ określona jest naturalnie na podzbiorach $\mathfrak M,$ nie zaś podzbiorach $X.$

Funkcja $f\colon X \to \mathbb R$ jest $\mu$ -mierzalna, jeśli $\mu$ -mierzalny jest przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego/domkniętego $U,$ tzn. $f^{-1}(U) \in \mathfrak M$ dla otwartych/domkniętych $U \subseteq \mathbb R.$

Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.
Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru X w zbiór Y. Jest on nazywany przestrzenią, gdyż w wielu zastosowaniach jest on przestrzenią topologiczną, czy liniową, a nawet oboma jednocześnie.

Dowodzi się, że zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na działania algebraiczne, tzn. jeżeli mierzalne są funkcje $f, g,$ to mierzalne są także funkcje (zob. przestrzeń funkcyjna oraz wartość bezwzględna, minimum i maksimum) $f \pm g,\; fg$ oraz $f/g$

tam, gdzie jest poprawnie określona (tzn. $g$ nie znika). Ponadto mierzalne są funkcje $|f|,\; \max(f, g),\; \min(f, g)$

oraz

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.
Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, dla elementów której określone jest pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną dodatkową własność, związaną z ich strukturą metryczną. Historycznie to własnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

$f^+ := \max(f, 0)$ i $f^- := \max(-f, 0)$

nazywane odpowiednio częścią dodatnią oraz ujemną funkcji $f.$ Wprost z definicji wynika, iż $f = f^+ - f^-$ oraz $|f| = f^+ + f^-.$

Jednak przede wszystkim zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na branie granic punktowych, tzn. jeżeli mierzalne są funkcje należące do ciągu $(f_n)_{n \in \mathbb N},$ to mierzalne są również funkcje $\sup f_n,\; \inf f_n,\; \limsup f_n,\; \liminf f_n.$

Funkcję $f$ nazywa się prostą, jeżeli jej obraz jest zbiorem skończonym, zaś każda jej wartość $c_i$ przyjmowana jest na pewnym zbiorze mierzalnym $A_i,$ tzn. $A_i = f^{-1}(c_i) \in \mathfrak M$ dla $i = 1, \dots, n.$ Innymi słowy funkcję $f$ nazywa się prostą, jeżeli można przedstawić ja w postaci skończonej kombinacji liniowej funkcji charakterystycznych (indykatorów) zbiorów mierzalnych:

Lemat Fatou – lemat w analizie i teorii miary podający ograniczenie górne na wartość całki funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.
Przestrzeń Hausdorffa to termin w topologii odnoszący się do jednego z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie Hausdorffa są też nazywane przestrzeniami T2.

$f = \sum_{i = 1}^n a_i \chi_{A_i}$

dla pewnych wartości $a_1, a_2, \dots, a_n$ oraz zbiorów $A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathfrak M.$

Konstrukcja całki Lebesgue'a polega na stopniowym komplikowaniu klasy funkcji całkowalnych poczynając od najprostszych. Funkcje charakterystyczne

Jedyną rozsądną możliwością przypisania wartości całce z funkcji charakterystycznej $\chi_A$ zbioru mierzalnego $A$ jest miara tego zbioru: $\int \chi_A \;\operatorname d\mu := \mu(A).$

Wynik może być równy $+\infty,$ o ile $\mu$ nie jest miarą skończoną.

Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.
Zbiory miary zero – w analizie matematycznej, teorii mnogości, a przede wszystkim w teorii miary podzbiory rozważanej przestrzeni, które są „małe” lub z punktu widzenia miary. Czasami stosuje się synonim zbiory zaniedbywalne.

Funkcje proste

Jeżeli $f$ jest nieujemną funkcją prostą (kombinacją liniową funkcji charakterystycznych), to całkę Lebesgue'a tej funkcji definiuje się wzorem $\int f \;\operatorname d\mu := \int \sum_{i = 1}^n a_i \chi_{A_i} = \sum_{i=1}^n a_i \int \chi_{A_i} = \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i).$

Całkę Lebesgue'a z dowolnej funkcji prostej $g$ definiuje się jako $\int g := \int g^+ - \int g^-.$

Funkcja $g$ jest całkowalna, jeśli przynajmniej jedna z całek z nieujemnych funkcji prostych po prawej stronie jest skończona; brak tego warunku sprawia, że definicja traci sens z powodu możliwego wyrażenia nieoznaczonego postaci $\infty - \infty.$ Funkcja $g$ jest sumowalna, jeżeli skończone są obie całki po prawej stronie powyższego wzoru.

Zbiór otwarty – podstawowe pojęcie topologii. W przestrzeni metrycznej (a w szczególności w przestrzeni euklidesowej) jest to zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewną kulę o środku w tym punkcie, tzn. taki, w którym dla każdego punktu zbioru istnieje otoczenie w całości zawarte w tym zbiorze.
Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce:

Funkcje mierzalne

Całkę Lebesgue'a nieujemnej funkcji mierzalnej $g$ określa się jako $\int g := \sup \Bigg\{\int f\colon f$ jest nieujemną funkcją prostą taką, że $f \leqslant g \Bigg\}.$

Definicja całki Lebesgue'a z funkcji mierzalnej $h$ nie różni się wiele od definicji całki z dowolnej funkcji prostej: $\int h := \int h^+ - \int h^-,$

przy czym podobnie $h$ jest całkowalna, gdy choć jedna z całka po prawej stronie jest skończona i sumowalna, gdy skończone są obie. Zbiory mierzalne

Całkę z funkcji mierzalnej $f$ na zbiorze mierzalnym $E \in \mathfrak M$ określa się jako

Symbol bądź wyrażenie nieoznaczone – wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji. Zalicza się do nich:
Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

$\int\limits_E f := \int f \chi_E,$

gdzie $\chi_E$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru $E.$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)