Całka nieoznaczona - Polski Serwis Naukowy

Pole kierunków funkcji $f(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 - x + c,$ gdzie zaznaczono trzy z nieskończenie wielu rozwiązań, które można uzyskać poprzez uzmiennienie stałej $c.$

Funkcja pierwotna – w analizie matematycznej dla danej funkcji $f$ taka funkcja $F,$ której pochodna $F'$ jest równa $f.$ Proces wyznaczania pierwotnej nazywa się również całkowaniem (nieoznaczonym) i można go postrzegać jako działanie odwrotne do wyznaczania pochodnej. Pierwotne, poprzez podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, związane są z całkami oznaczonymi: całka oznaczona funkcji na danym przedziale jest równa różnicy wartości pierwotnej w końcach tego przedziału.

Suma rozłączna - w teorii mnogości zmodyfikowana operacja sumy, w której zachowana została informacja o tym, z którego zbioru pochodzi każdy element.
S – dwudziesta czwarta litera polskiego i dziewiętnasta alfabetu łacińskiego. Oznacza zwykle w danym języku spółgłoskę przedniojęzykową szczelinową bezdźwięczną, np. [s].

Wzory

Jeżeli $F$ jest pierwotną funkcji $f$ określonej i ciągłej na pewnym przedziale, to każda inna pierwotna $G$ funkcji $f$ na tym przedziale różni się od $F$ o stałą: istnieje liczba $C,$ nazywana stałą całkowania, taka, że $G(x) = F(x) + C$ dla wszystkich $x.$ Jeżeli dziedzina $f$ jest sumą rozłączną dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których $f$ jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.
Całka oznaczona – liczba określona dla pewnej funkcji f i zbioru zawartego w dziedzinie funkcji. W przypadku funkcji rzeczywistej jednej zmiennej można całkę oznaczoną interpretować jako różnicę takich dwóch liczb: 1) pola obszaru nad osią odciętych, pod wykresem funkcji w tych miejscach, gdzie jest dodatnia; 2) pola obszaru pod osią odciętych, nad wykresem funkcji w tych miejscach, gdzie jest ujemna; przy czym obszary te są ograniczone do wspomnianego podzbioru dziedziny.

$F(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C_1, \quad x < 0, \\ -\frac{1}{x} + C_2, \quad x > 0 \end{cases}$

jest najogólniejszą pierwotną funkcji $f(x) = x^{-2}$ określonej na jej dziedzinie naturalnej $(-\infty, 0) \cup (0, \infty).$

Otóż, pierwotna funkcji $f$ $\int f(x)\; \operatorname dx = F(x) + C,$

gdzie $F'(x) = \frac{\operatorname d}{\operatorname dx} F(x) = f(x).$

Wyrażenie $F(x) + C$ nazywa się całką nieoznaczoną (ogólną pierwotną) funkcji podcałkowej $f;$ czasami zmienną $x$ nazywa się w tym kontekście zmienną całkowania. Obecność stałej całkowania $C$ wynika z faktu, iż pochodna stałej jest zawsze równa zeru.

Symbol $\textstyle \int$ (stylizowana litera S, od łac. summa), oznaczający operację pierwotnej, został wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza.

Słowo filozofia (gr. φιλοσοφία, łac. philosophia) pochodzi (prawdopodobnie) od matematyka i filozofa Pitagorasa żyjącego w VI wieku p.n.e. Pierwotnie miało sens dosłowny i oznaczało poszukiwanie, umiłowanie mądrości lub posiadanie mądrości (gr. φιλέω phileo – kochać, σοφία sophia – mądrość). Obecnie terminu filozofia używa się w różnych znaczeniach. Trudno o jego definicję, gdyż zakres rozważań filozoficznych i ich metoda ulegały zmianom w historii, a rozumienie filozofii jest uzależnione od wielu czynników, w tym od przyjętej tradycji filozoficznej. W uproszczeniu można powiedzieć, że filozofia zajmuje się ogólnymi, podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi natury świata i człowieka. Filozofowie rozważają kwestie natury istnienia, rozumienia bytu i rzeczywistości (ontologia, metafizyka, teoria bytu), poznawalności rzeczywistości i prawdy (epistemologia czyli teoria poznania), moralności, powinności i koncepcji wartości (etyka oraz aksjologia czyli teoria wartości), także zagadnienia dotyczące człowieka antropologia filozoficzna, a także kwestie społeczne, prawne, kulturowe, teologiczne i inne.
Funkcja addytywna – funkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Ponieważ branie pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:

podstawowa reguła całki nieoznaczonej: $\int dx = x + C;$

całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji (jednorodność): $\int af(x)\; \operatorname dx = a \int f(x)\; \operatorname dx;$

jeżeli $f$ oraz $g$ określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji $f$ i $g$ (addytywność): $\int \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\; \operatorname dx = \int f(x)\; \operatorname dx + \int g(x)\; \operatorname dx;$

jeśli $n$ jest liczbą rzeczywistą, to $\int x^n\; \operatorname dx = \begin{cases} \frac{x^{n+1}}{n+1} + C & \text{dla } n \ne -1, \\[6pt] \ln |x| + C & \text{dla }n = -1. \end{cases}$

Osobny artykuł: tablica całek.

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika.
Logarytm (łac. [now.] logarithmus, w sensie stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos , „słowo”, w sensie proporcja, i ἀριθμός árithmós, „liczba”). Logarytm przy podstawie a z liczby b (symbolicznie log ab) oznacza liczbę c, będącą potęgą, do której podstawa a musi być podniesiona, aby dać liczbę b, czyli

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)