Całki eliptyczne - Polski Serwis Naukowy

Całkami eliptycznymi nazywamy ważną klasę całek postaci

gdzie $\; R(x,y) \;$ jest funkcją wymierną zmiennych x i y, a $\; W(x) \;$ jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4. Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawimy dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że $\; P(x,y)=0, \;$

gdzie $\; P(x,y) \;$ jest wielomianem względem zmiennych x i y nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Elipsa (z gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Funkcje eliptyczne – funkcje określone na zbiorze liczb zespolonych, które są dwuokresowe, tj. periodyczne wzdłuż dwóch kierunków (np. zarówno względem osi liczb urojonych jak i osi liczb rzeczywistych). Funkcje eliptyczne na płaszczyźnie zespolonej są analogią funkcji trygonometrycznych na osi liczb rzeczywistych. Nazwa funkcje eliptyczne pochodzi stąd, iż po raz pierwszy pojawiły się one jako funkcje odwrotne do całek eliptycznych, które z kolei nazwę swą wzięły stąd, iż były badane w związku z problemem obliczania długości łuku elipsy.

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (ur. 31 października 1815 w Ostenfelde w Westfalii, zm. 19 lutego 1897 w Berlinie) – niemiecki matematyk, zwolennik arytmetyzacji analizy matematycznej, twórca precyzyjnego pojęcia granicy funkcji.

Ekscentryczność (inaczej mimośród) – oznaczana symbolem e, to wielkość charakteryzująca kształt orbity opisywanej równaniem parametrycznym krzywej stożkowej ciała obiegającego drugie ciało pod wpływem siły grawitacji. Ekscentryczność w tej konkretnej sytuacji fizycznej jest związana z energią całkowitą układu oddziałujących mas oraz z wartością całkowitego momentu pędu poprzez wzór:

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa $\wp$ jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę $\; z(w)=\int\limits_{w}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{4t^3 - g_2 t - g_3}}, \;$

tzn. $\; \wp(z) = w \;$ , o ile $\; z=z(w) \;$ .

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek $\int\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),$ $\int\frac{(1-k^2 t^2) dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),$ $\int\frac{dt}{(1+ht^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),$

gdzie h jest parametrem zespolonym. Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Niels Henrik Abel (ur. 5 sierpnia 1802 w Findö koło Stavanger, zm. 6 kwietnia 1829 w Frolandsvark pod Arendal), matematyk norweski. Udowodnił niemożliwość rozwiązania równania algebraicznego stopnia wyższego niż cztery przez pierwiastniki, prowadził badania w dziedzinie teorii szeregów i całek eliptycznych.

Legendre zastosował podstawienie t=sinφ, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek $\int\frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),$ $\int\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),$ $\int\frac{d\phi}{(1+h \sin^2 \phi) \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi )}}\ \ (0<k<1),$

które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a. Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich, które traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do ψ oznaczamy za Legendre'm odpowiednio F(k,ψ) i E(k,ψ). $F(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),$ $E(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),$

Parametr k występujący w funkcjach F i E nazywamy modułem.

Całki eliptyczne F i E nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami $K(k) = F \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1) \, ,$ $E(k) = E \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1) \, .$

Wartości całek eliptycznych zupełnych K i E są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznych.

Praktyczną korzyścią z tabelaryzacji całek eliptycznych jest możliwość policzenia przybliżonego obwodu elipsy. Na przykład dla a=2 i b=1 mamy mimośród e=0,866. Obwód wtedy jest równy 4aE(e) czyli w przybliżeniu dla powyższych wartości 9,68.

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.