Ciągła zmienna losowa - Polski Serwis Naukowy

Od góry: dystrybuanta pewnego dyskretnego rozkładu, rozkładu ciagłego, oraz rozkładu mającego zarówno ciągłą, jak i dyskretną część.

Ciągły rozkład prawdopodobieństwa - rozkład prawdopodobieństwa dla którego dystrybuanta jest funkcją ciągłą. Stosowana jest też węższa definicja, przedstawiona poniżej w sekcji bezwzględna ciągłość.

Centralne twierdzenie graniczne – jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

Kwant – najmniejsza porcja, jaką może mieć lub o jaką może zmienić się dana wielkość fizyczna w pojedynczym zdarzeniu; np. kwant energii, kwant momentu pędu, kwant strumienia magnetycznego, kwant czasu.

Dla rozkładów ciągłych suma nieskończonej liczby zdarzeń o zerowym prawdopodobieństwie może być zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Obrazowo - pojedynczy punkt ma zerowe rozmiary, jednak odcinek złożony z nieskończonej liczby takich punktów ma już niezerową długość. Podobne zjawisko nie zachodzi dla rozkładów dyskretnych.

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:

Dystrybuanta – w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa ponieważ, są obiektem prostszym niż rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną. Jest ona blisko związana z pojęciem rangi.

Bezwzględna ciągłość

Zapoznaj się również z: ciągłość bezwzględna miar, dystrybuanta i związek bezwzględnej ciągłości z dystrybuantą.

Węższa definicja rezerwuje miano ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa dla rozkładów posiadających funkcję gęstości $f$ . Są to rozkłady, których dystrybuanta daje się przedstawić w postaci:

Rozkład gamma to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego gęstość jest uogólnieniem rozkładu Erlanga na dziedzinę dodatnich liczb rzeczywistych. Rozkład gamma ze względu na klasyfikację Pearsona jest rozkładem typu 3.

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:

$F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$

Dla precyzji zmienne losowe o takich rozkładach są zwane bezwzględnie ciągłymi. Dla zmiennej losowej $X$ bezwzględna ciągłość oznacza, że prawdopodobieństwo, iż $X$ osiągnie wartość z dowolnego zbioru zdarzeń o mierze Lebesgue'a zero, wynosi zero. Nie wynika to z warunku $Pr[X=a]=0$ dla $a\in\mathbb{R}$ , gdyż istnieją nieprzeliczalne zbiory z zerową miarą Lebesgue'a (np. zbiór Cantora).

Przykłady

W praktyce zmienne losowe są zwykle albo dyskretne albo bezwzględnie ciągłe, czasami zdarzają się też zmienne posiadające rozkład częściowo dyskretny i częściowo bezwzględnie ciągły.

Najbardziej znane bezwzględnie ciągłe rozkłady to rozkład normalny, rozkład jednostajny, rozkład beta i rozkład gamma. Rozkład normalny jest niezwykle ważny w statystyce z powodu centralnego twierdzenia granicznego: dowolna zmienna, która powstaje przez sumowanie wielu niezależnych zmiennych losowych, jest asymptotycznie normalna.

Z rozsądną dokładnością można przyjąć, że zmienna "wzrost losowo wybranego człowieka żyjącego na Ziemi wyrażony w centymetrach" jest zmienną typu ciągłego. Zakres jej wartości z pewnością mieści się w przedziale (0, 300).

Analogicznie, zmienna "długość kroku pani X wyrażona w centymetrach" też jest ciągła.

Natomiast zmienna "liczba stron wybranej na chybił-trafił książki z Biblioteki Głównej Uniwersytetu Jagiellońskiego" jest dyskretna – trudno się zgodzić, by mogła ona przyjąć wartość 324,7.

W naturze wszystko jest skwantowane, a pomiary są robione ze skończoną dokładnością, więc samo istnienie zmiennych ciągłych jest dyskusyjne. Zmienne losowe ciągłe są jednak w praktyce lepszym od zmiennych dyskretnych matematycznym modelem wielu zjawisk. Tak jest szczególnie w przypadku, gdy możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej jest bardzo dużo, lub wartości te są nieznane. Wówczas metody analizy danych oparte na zmiennych ciągłych dają lepsze rezultaty, niż metody oparte na zmiennych dyskretnych.

Zobacz też

dyskretny rozkład prawdopodobieństwa,

centralne twierdzenie graniczne,

przegląd zagadnień z zakresu statystyki.

Linki zewnętrzne

Relacje pomiędzy ciągłymi rozkładami prawdopodobieństwa.