Ciąg liczbowy - Polski Serwis Naukowy

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Teoria złożoności obliczeniowej to dział teorii obliczeń. Głównym jej celem jest określanie ilości zasobów potrzebnych do rozwiązania problemów obliczeniowych. Rozważanymi zasobami są takie wielkości jak czas, pamięć lub liczba procesorów. Za twórców tej teorii uważani są Juris Hartmanis i Richard Stearns. Jako przykłady problemów t.z.o. można podać: problem spełnialności, problem najkrótszej ścieżki, problem faktoryzacji oraz wiele innych o których wiadomo że są obliczalne. Kwestią obliczalności zajmuje się teoria obliczalności, będąca drugą ważną gałęzią teorii obliczeń.
Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Przykładami ciągów mogą być następujące:

ciąg pięciu elementów $10,\ 2,\ 3,\ 0,\ 12$ zbioru liczb naturalnych;

ciąg liczb całkowitych $1$ oraz $-1$ przyjmowanych naprzemiennie;

ciąg kolejnych liczb pierwszych;

ciąg wszystkich liczb wymiernych uporządkowanych w jakiś sposób.

Definicja

Ciągiem określonym na dowolnym zbiorze $X$ nazywa się dowolną funkcję $a\colon I \to X,$ gdzie $I$ jest dowolnym podzbiorem (być może niewłaściwym) zbioru liczb naturalnych. Zbiór $I$ nazywa się zbiorem wskaźników lub indeksów, a jego elementy – wskaźnikami bądź indeksami. Jeśli zbiór wskaźników jest skończony, to sam ciąg również nazywa skończonym, jeśli zbiór $I$ nie jest skończony, to ciąg nazywa się nieskończonym.

Ciąg geometryczny - co najmniej trójelementowy ciąg liczbowy skończony bądź nieskończony, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej liczby różnej od zera, którą nazywa się ilorazem ciągu.
Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Wartości funkcji $a$ nazywa się wyrazami bądź elementami ciągu i w miejsce tradycyjnego zapisu $a(i)$ stosuje się zwykle zapis $a_i.$ Sam ciąg oznacza się zazwyczaj nie za pomocą symbolu funkcji, tutaj $a,$ lecz dłuższej notacji $(a_i)_{i \in I}$ lub krótszych jej wariantów $(a_i)_i,$ a nawet $(a_i),$ gdzie napis w nawiasie nazywa się wyrazem ogólnym ciągu. Niekiedy zamiast nawiasów okrągłych stosuje się nawiasy klamrowe, np. $\{a_i\}_{i \in I}.$ Jeśli $X$ jest zbiorem liczb zespolonych, to unika się stosowania jako wskaźnika litery $i,$ którą zwykło się oznaczać jednostkę urojoną (w zastosowaniach wykorzystuje się czasem do tego celu literę $j$ ); w przypadku kwaternionów unika się zwykle liter $i, j, k,$ którymi tradycyjnie oznacza się elementy bazowe tej algebry.

Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie. Wbrew próbom rozróżnienia terminów [potrzebne źródło] rekursja i rekurencja w rzeczywistości słowa te mają identyczne znaczenie[potrzebne źródło].
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Zwykle przyjmuje się $I = \{1, \dots, k\}$ (bądź od zera) w przypadku skończonym i pisze często $(a_i)_{i = 1}^k$ oraz $I = \mathbb N$ w przypadku nieskończonym i zapisuje $(a_i)_{i = 1}^\infty$ (lub od zera, w zależności od przyjętej definicji liczb naturalnych).

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)