Ciało - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Historia nazwy

Pojęcia ciała (bez nadawania mu nazwy) używał już Évariste Galois, który odkrył i sklasyfikował ciała skończone; później podobnie postąpił Bernhard Riemann (w 1857), którego interesowały ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności. Nazwa Körper (niem. ciało) pojawiła się podobno po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, w sensie zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało. Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Definicja

Ciałem nazywa się pierścień przemienny, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny. Mówiąc wprost, ciało $K$ to struktura $(K, +, \cdot, 1, 0)$ taka, że

zbiór $K$ zawiera co najmniej dwa elementy oznaczane symbolami $0$ oraz $1$ ,

$(K, +, \cdot, 1, 0)$ jest pierścieniem przemiennym, to znaczy $+$ i $\cdot$ są działaniami w zbiorze $K$ , nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem (zwykle przyjmuje się, że mnożenie wiąże silniej niż dodawanie), spełniającymi warunki

$\forall_{a, b, c \in K}\; a + (b + c) = (a + b) + c$ , $\exists_{0 \in K}\; \forall_{a \in K}\; a + 0 = a$ , $\forall_{a \in K}\; \exists_{b \in K}\; a + b = 0$ , $\forall_{a, b \in K}\; a + b = b + a$ ; $\forall_{a, b, c \in K}\; a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ , $\exists_{1 \in K}\; \forall_{a \in K}\; a \cdot 1 = a$ , $\forall_{a, b, c \in K}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ , $\forall_{a, b \in K}\; a \cdot b = b \cdot a$ .

każdy niezerowy element jest odwracalny, tzn:

$\forall_{a \in K\setminus\{0\}}\; \exists_{b \in K}\; a \cdot b = 1$ ,

Element 1 nazywa się jedynką lub jednością i jest on elementem neutralnym mnożenia, 0 jest natomiast elementem neutralnym dodawania.

1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba jest podzielna przez 1.
Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie mówiące, że każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne).

Ciało nieprzemienne

W literaturze rosyjskiej (тело) oraz francuskiej (corps) w definicji ciała nie wymaga się przemienności. Wtedy ciała przemienne nazywa się polami (ros. поле) lub ciałami przemiennymi (franc. corps commutatif). Pojecie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Funkcja meromorficzna - w analizie zespolonej, funkcja f, określona na otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze , gdzie oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji f.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)