Continuum - topologia - Polski Serwis Naukowy

Continuum - w topologii ogólnej, niepusta przestrzeń topologiczna, która jest zarazem zwarta i spójna. Teoria continuów jest gałęzią topologii zajmującą się studiowaniem własności continuów i odwzorowań między nimi. Continua dzieli się zasadniczo na dwie klasy:

continua rozkładalne, to znaczy continua zawierające właściwe subcontinua (tzn. podprzestrzenie same będące continuami)

continua nierozkładalne, to znaczy continua, które nie są rozkładalne.

Wszystkie lokalnie spójne continua są rozkładalne, podczas gdy wszystkie continua nigdzie lokalnie spójne są nierozkładalne. Continua pojawiają się w sposób naturalny w matematyce, także poza topologią - na przykład, w kontekście rozważań ciągłych przedłużeń funkcji analitycznych na brzeg obszaru, w którym są różniczkowalne.

Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Rys historyczny

Artur Schoenflies rozważał następujący problem: Czy brzeg obszaru płaskiego jest zawsze sumą dwu continuów różnych od całości, w sposób analogiczny w jaki dwa łuki składają się na okrąg?. W roku 1910, Luitzen Egbertus Jan Brouwer skonstruował krzywą, będącą wspólnym brzegiem trzech obszarów składających się płaszczyznę (zob. jeziora Wady). Jeziora Wady nie mają takiego rozkładu (jest to, w szczególności, continuum nierozkładalne), a więc jest to kontrprzykład do postawionego problemu Schoenfliesa.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza.

Podstawowe fakty teorii continuów

Każde lokalnie spójne continuum jest łukowo spójne.

Każde jednowymiarowe continuum jest granicą odwrotną grafów. Wśród continuów jednowymiarowych wyróżnia się np. continua drzewopodobne, łukopodobne, okręgopodobne (ang. tree-like, arc-like, circle-like, odpowiednio), które są granicami odwrotnymi drzew, łuków, okręgów itd.

Klasycznymi przykładami nietrywialnych continuów są łuk i pseudołuk. Pseudołuk jest przykładem dziedzicznie nierozkładalnego continuum łukopodobnego, które jest homeomorficzne z każdym swoim nietrywialnym subcontinuum.

Przypisy

A. Schoenflies. Die Entwickelung der Lehre von den Punktmanningfaltigkeiten, Lipsk 1908.
L.E.J. Brouwer. Zur Analysis Situs, Math. Ann. 68 (1910), ss. 422-434.
E.E. Moise, An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its non-degenerate subcontinua, Transactions of the American Mathematical Society 63 (1948), ss. 581–594.