Część wspólna - Polski Serwis Naukowy

Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) − dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.

prof. Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Definicje

Przekrój zbiorów A i B

Część wspólna (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie) zbiorów $A$ i $B$ to zbiór, do którego należą te elementy zbioru $A$ , które należą również do $B$ . Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ jest oznaczana przez $A\cap B$ . Tak więc: $A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$ .

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli $\mathcal{A}$ jest niepustą rodzinę zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

$\bigcap {\mathcal A} = \{x:(\forall A \in \mathcal A)(x\in A)\}$ .

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_i)_{i\in I}$ , gdzie zbiór indeksów $I$ jest niepusty, część wspólną definiuje się jako $\bigcap_{i\in I} A_i = \{a : (\forall i \in I)(a\in A_i)\}.$

Przykłady

Niech ${\mathbb N}$ będzie zbiorem liczb naturalnych, a $P$ niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas ${\mathbb N}\cap P$ jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.

${\mathbb N}\cap P=\{n\in {\mathbb N}:2$ dzieli $n\}$ .

$(0,1)\cap [1,2]=\varnothing$ , ale $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$

$\bigcap\limits_{n\in {\mathbb N}} (1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1})=\{1\}$

Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek $[\sqrt{2},\sqrt{5})$ . Wówczas

$\bigcap {\mathfrak A}=[\sqrt{2},\sqrt{5}]$ .

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzą następujące równości:

Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

$\bigcap \{ A\} = A =A\cap A$ ,

$\bigcap \{ A, B\} = A \cap B$ ,

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (łączność),

$A \cap B = B \cap A$ (przemienność),

$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C)$ oraz $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)$ (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego,

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ (prawo De Morgana).

Ponadto,

$A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cap B = A$ .

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_i:i\in I\}$ , $\{B_i:i\in I\}$ oraz $\{ C_{j,k}:j\in J\ \wedge\ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów $I,J,K$ są niepuste. Niech $D$ będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

$\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)=\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcap\limits_{i\in I} B_i$

$\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcap\limits_{i\in I} B_i\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)$

$D\cap \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap D)$

$D\cup \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup D)$

$D\setminus \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} D\setminus A_i$

$\bigcap\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcap\limits_{k\in K}\bigcap\limits_{j\in J} C_{j,k}$

$\bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech ${\mathfrak A}$ będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

$\bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\}.$

Na przykład niech $\mathfrak{A} = \{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\}$ , gdzie $\mathcal{A}_1 = \{A_1, A_2\}$ oraz $\mathcal{A}_2 = \{A_3, A_4\}$ . Wtedy z jednej strony:

$\bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{A_1, A_2, A_3, A_4\} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4$ ,

a z drugiej

$\bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\} = \bigcap \{A_1 \cap A_2, A_3 \cap A_4\} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4$ .

Przekrój a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji $f : X\longrightarrow Y$ , dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_i:i\in I\}$ podzbiorów zbioru $X$ oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_j:j\in J\}$ podzbiorów zbioru $Y$ , zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

$\bigcap \{f^{-1}[B_j]: j\in J\} = f^{-1}[\bigcap\limits_{j\in J} B_j]$ (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);

$f[\bigcap\limits_{i\in I} A_i]\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} f[A_i]$ (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

Część wspólna zbiorów w rodzinie wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego $U$ (tzw. uniwersum) oraz ${\mathcal P}({\mathbf U})$ jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru $U$ , to $({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\varnothing,{\mathbf U})$

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole'a). Algebra Boole'a ta jest zupełna. Zbiór $U$ jest elementem neutralnym operacji części wspólnej $\cap$ .

Zapis $\bigcap \mathcal{A}$ ,

gdy $\mathcal{A}=\varnothing$ (tzn. gdy $\mathcal{A}$ jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu.

Przypisy

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 33. ISBN 83-01-14415-7.

Bibliografia

K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Liczby i ich zbiory

iloczyn kartezjański,

prawa De Morgana,

suma zbiorów,

różnica zbiorów.