Czasoprzestrzeń Minkowskiego - Polski Serwis Naukowy

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

Czterowektorem nazywamy element przestrzeni Minkowskiego, to jest czterowymiarowej przestrzeni wektorowej wyposażonej w symetryczny iloczyn skalarny o sygnaturze (1,3).

Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

Ujęcie matematyczne

Czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest czterowymiarową przestrzenią liniową $M$ nad ciałem liczb rzeczywistych, w której zdefiniowana jest forma (funkcjonał) $\langle \cdot, \cdot \rangle$ , nazywana iloczynem wewnętrznym, spełniająca warunki:

dwuliniowości: $\langle a\mathbf u + \mathbf v, \mathbf w \rangle = a\langle \mathbf u, \mathbf w \rangle + \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle$ dla wszystkich $a \in \mathbb R, \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in M$
symetryczności: $\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf w, \mathbf v \rangle$
niezdegenerowania: jeśli dla wszystkich $\mathbf w$ $\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = 0$ , to $\mathbf v = 0$

Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności (każdy funkcjonał dodatnio określony jest niezdegenerowany, ale nie na odwrót). Iloczyn zewnętrzny pozwala zdefiniować "długość" wektora wzorem

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Funkcjonał dwuliniowy (forma dwuliniowa) – w algebrze dwuliniowej dwuargumentowy funkcjonał liniowy ze względu na każdą zmienną. Stosowany także w rachunku wariacyjnym i analizie funkcjonalnej.

$|\mathbf u|^2 = \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle$

Wektory jednostkowe oznaczone są symbolem $\mathbf e$ , przy czym z definicji $|\mathbf e| = 1$ . Punkt p czasoprzestrzeni utożsamia się z wektorem $\mathbf x$ o czterech współrzędnych $\mathbf x^\mu, \mu = (0, 1, 2, 3)$ $\mathbf x = \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu$

gdzie $\mathbf e_\mu$ są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora podniesiona do kwadratu jest wyrażona wzorem $|\mathbf x|^2 = \langle \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu, \mathbf x^\nu\mathbf e_\nu \rangle = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf x^\mu\mathbf x^\nu$ ,

gdzie $\mathrm g$ jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

W matematyce, grupa Liego to grupa która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.

W fizyce i matematyce grupa Poincarégo jest to grupa izometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest to 10-wymiarowa grupa Liego nazwana na cześć jednego z twórców matematycznych podstaw teorii względności. Abelowa grupa translacji w czasoprzestrzeni jest podgrupą normalną, podczas gdy grupa Lorentza jest podgrupą, czyli pełna grupa Poincaré jest iloczynem półprostym translacji i transformacji Lorentza. Innym sposobem wyprowadzenia grupy Poincaré jest rozszerzenie grupy Lorentza za pomocą jej reprezentacji wektorowej. Zgodnie z programem z Erlangen, geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest zdefiniowana przez grupę Poincarégo. Wedle tego programu przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią jednorodną dla grupy Poincarégo.

$\mathrm g_{\mu\nu}= \langle \mathbf e_\mu, \mathbf e_\nu \rangle$

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych $(\mathbf x + d\mathbf x)^\mu$ i $\mathbf x^\mu$ określa odległość (interwał czasoprzestrzenny) $d\mathbf s^2 = \mathrm g_{\mu\nu} d\mathbf x^\mu d\mathbf x^\nu$

Tensor metryczny określony jest przez macierz $\mathrm g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

W jawnej postaci długość wektora $\mathbf z$ to $|\mathbf x|^2 = (\mathbf x^0)^2 - (\mathbf x^1)^2 - (\mathbf x^2)^2 - (\mathbf x^3)^2$ .

Wektor $\mathbf x$ nazywa się:

czasopodobnym, jeżeli $|\mathbf x|^2 > 0$ ,

przestrzennopodobnym, jeżeli $|\mathbf x|^2 < 0$ ,

światłopodobnym lub zerowym, jeżeli $|\mathbf x|^2 = 0$ .

W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów światłopodobnych nazywa się stożkiem świetlnym. Jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, $\mathbf x^0 = ct$ , gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni, poprzez przyrównanie wartości interwału czasoprzestrzennego do zera (w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Wzajemna widoczność dwóch obiektów oznacza, że znajdują się one we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Jules Henri Poincaré (ur. 29 kwietnia 1854 w Cité Ducale niedaleko Nancy, Francja, zm. 17 lipca 1912 w Paryżu) (IPA: [pwɛ̃kaˈʀe]) – francuski matematyk, fizyk, astronom i filozof nauki.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji Poincarégo danej wzorem $\mathbf x^\mu \mapsto {x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu + \mathbf a^\mu$ .

Zbiór takich transformacji parametryzowanych za pomocą macierzy $\Lambda$ i wektora translacji $\mathbf a$ tworzy grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki $\mathrm g_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\rho \Lambda^\nu_\tau = \mathrm g_{\rho\tau}$ .

Są to macierze Lorentza, które zawierają transformację Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni. Tworzą one grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo:

Prawa zachowania – prawa fizyki stwierdzające, że w układach fizycznych izolowanych od otoczenia określone wielkości fizyczne pozostają stałe. Istnieją zarówno zasady zachowania obowiązujące bezwzględnie, jak i zasady zachowania słuszne tylko dla niektórych procesów.

Albert Einstein (wym. [ˈalbɐt ˈaɪ̯nʃtaɪ̯n] ?/i) (ur. 14 marca 1879 r. w Ulm w Niemczech, zm. 18 kwietnia 1955 r. w Princeton w USA) – jeden z największych fizyków-teoretyków XX wieku, twórca ogólnej i szczególnej teorii względności, współtwórca korpuskularno-falowej teorii światła, odkrywca emisji wymuszonej. Laureat Nagrody Nobla za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego. Opublikował ponad 450 prac, w tym ponad 300 naukowych. Wniósł też swój wkład do rozwoju filozofii nauki.

$\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu$ .

Ponieważ transformacja Poincarego zawiera dodatkową translację, również to przekształcenie tworzy osobną podgrupę: $\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \mathbf \mathbf x^\mu + \mathbf a^\mu$ .

Wszystkie są ciągłymi grupami Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

Ruch w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria $\mathbf x^\mu(\tau)$ , gdzie $\tau$ jest parametrem niezmienniczym (tzn. nie jest czasem). Np. można zdefiniować $c d\tau = d\mathbf s$ , gdzie $\mathbf s$ jest interwałem czasoprzestrzennym, $\tau$ nazywa się czasem własnym.

Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.

Niemcy – naród zamieszkujący przede wszystkim Republikę Federalną Niemiec, posługujący się językiem niemieckim z grupy języków germańskich. Pod względem wyznaniowym Niemcy są podzieleni na katolików (płd. i zach. Niemcy) i protestantów (płn. i wsch. Niemcy). Populacja jest trudna do oszacowania gdyż zawiera w sobie nie tylko rodowitych Niemców, ale także ich potomków rozsianych na kilku kontynentach. Mieści się ona w przedziale pomiędzy 80 a 160 milionów osób.

$d \tau = dt \sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}.$

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni trójwymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości $\mathbf u^\mu = \frac{d\mathbf x^\mu}{d\tau} = \left\{\frac{c}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt}\right\}$

i czterowektor pędu $\mathbf p^\mu = m \mathbf u^\mu$ .

Wektor pędu ( $\mu = i = \{1, 2, 3\}$ ) w fizyce relatywistycznej ma postać $\mathbf p^i = m \mathbf u^i = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt} = m(\mathbf v)\frac{d\mathbf x^i}{dt}$

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową $m$ na masę relatywistyczną $m(v)=\frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}.$

Wielkości te nie są niezależne

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Hermann Minkowski (ur. 22 czerwca 1864 w Aleksocie (obecnie Kowno), zm. 12 stycznia 1909 w Getyndze) – niemiecki matematyk i fizyk pochodzenia polskiego i żydowskiego, profesor uniwersytetów w Bonn (od 1893), Królewcu (od 1894), Zurychu (od 1896) i Getyndze (od 1902). Wprowadził idee geometryczne do fizyki matematycznej, teorii względności i teorii liczb.

$\mathbf u^\mu u_\mu = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf u^\mu \mathbf u^\nu = c^2$

i podobnie $\mathbf p^\mu \mathbf p_\mu = \mathrm g_{\mu\nu} \mathbf p^\mu \mathbf p^\nu = m^2 c^2$

Stąd otrzymujemy związek $\mathbf p_0 = \frac{E_\mathbf p}{c} = \pm \sqrt{\mathbf p^2 + m^2 c^2}$

Historia

Minkowski wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni, którego używał w swoim opisie Einstein.

Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem x, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujący sposób: $x^1 = x \,$ $x^2 = y \,$ $x^3 = z \,$ $x^4 = ict \,$

gdzie $i = \sqrt{-1} \,$

Transformacja Lorentza – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego zachowujące odległości w metryce tej przestrzeni. W przeciwieństwie do transformacji Galileusza, gdzie niezmiennikiem jest stałe tempo upływu czasu, w transformacji Lorentza zachowany jest interwał (odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni), podczas gdy wielkość jednostki czasu i odległości zależy od prędkości układu odniesienia. Założeniem transformacji Lorentza jest stałość i niezależność prędkości światła od prędkości układu.

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni: $S^2 = (x^1)^2 + (x^2)^2 +(x^3)^2 + (x^4)^2 \,$

Przestrzeń ta nie jest jednak przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną. Zespolona współrzędna czasowa powoduje także, że metryka czasoprzestrzeni jest inna niż przestrzeni euklidesowej.