Czworościan - Polski Serwis Naukowy

Czworościan

Siatka czworościanu

Czworościan to ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupu trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Oczywiście, czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupu trójkątnego foremnego.

Ostrosłup – bryła geometryczna w postaci wielościanu, którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem (czyli są trójkątami o wspólnym wierzchołku).

Wielościan - bryła geometryczna, ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów.

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach $A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4$ dana jest wzorem: $V = \sqrt{\frac{\Delta}{288}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\Delta$ to wyznacznik
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 & 1\\ a_{12}^2 & 0 & a_{23}^2 & a_{24}^2 & 1\\ a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0 & a_{34}^2 & 1\\ a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right|,$

$a_{ij}$ to długość krawędzi łączącej wierzchołek $A_i$ z wierzchołkiem $A_j.$

Promień kuli opisanej na czworościanie: $R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\Gamma}{\Delta}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\Gamma$ to $\Gamma = \left| \begin{matrix} 0 & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 \\ a_{12}^2 & 0 & a_{23}^2 & a_{24}^2 \\ a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0 & a_{34}^2 \\ a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0 \end{matrix}\right|.$

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

Jednokładność, homotetia (gr. homo+thetos=położony) o środku r i niezerowej skali k - odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni określone następująco:

Symetria środkowa o środku P (symetria względem punktu P) – odwzorowanie geometryczne SP prostej, płaszczyzny lub przestrzeni takie, że SP(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P.

$r = \frac{3V}{S_{A_1} + S_{A_2} + S_{A_3} + S_{A_4}},$

gdzie $S_{A_i}$ to pole ściany nie zawierającej wierzchołka $A_i$ .

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednozacznie czworościan. Jeśli $A_1$ i $A_2$ , $B_1$ i $B_2$ oraz $C_1$ i $C_2$ są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów $SA_1B_1C_1$ i $SA_2B_2C_2$ spełniają zależność:

4 (cztery) – liczba naturalna następująca po 3 i poprzedzająca 5. 4 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Warunek podzielności zapisanej w systemie dziesiętnym liczby przez 4 to, aby dwie ostatnie cyfry były podzielne przez 4.

Ostrosłup prawidłowy bądź ostrosłup foremny - to w geometrii taki ostrosłup, w podstawie którego znajduje się wielokąt foremny, a rzutem jego wierzchołka jest środek masy podstawy.

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{SA_1}{SA_2} \frac{SB_1}{SB_2} \frac{SC_1}{SC_2}$

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: $S = a b \sin{\alpha}$ .

Kąt trójścienny to część przestrzeni ograniczona trzema kątami płaskimi o wspólnym wierzchołku i takich, że sąsiednie kąty mają wspólne ramię.

Trójkąt równoramienny – trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach równej długości. Te dwa boki zwane są ramionami trójkąta, trzeci bok jego podstawą. Kąty przy podstawie są przystające a ich miara jest mniejsza od miary kąta prostego.

Przypisy

Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003. ISBN 83-86007-63-X.