Dodawanie - Polski Serwis Naukowy

Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plus: $+.$

Dodawanie liczb

Dodawanie pisemne liczb naturalnych

W niektórych przypadkach dodawanie w pamięci jest trudne. Można tę operację uprościć wykorzystując metodę dodawania pisemnego, która pozwala obliczyć sumę wykonując w pamięci wyłącznie dodawanie liczb jednocyfrowych.

Poniżej podany jest przykład obliczenia sumy dwóch, trzycyfrowych liczb: $653\;$ i $274.\;$ Drugą liczbę zapisujemy pod pierwszą, tak by cyfry zostały zapisane w kolumnach. Zapisując liczby należy je wyrównać do prawej, czyli zapisać jedności nad jednościami, dziesiątki nad dziesiątkami itd. Pod drugą liczbą narysuje się linię:

Dzielnik – w matematyce dla danej liczby całkowitej liczba całkowita, która dzieli ją bez reszty. W matematyce elementarnej dzielnikiem nazywa się dowolną liczbę, przez którą się dzieli.
Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \end{matrix}$

Dodawanie rozpoczynamy od prawej kolumny zawierającej cyfry jedności obu liczb. Cyfrą jedności $653\;$ jest $3;\;$ cyfrą jedności $274\;$ jest $4;\;$
Dodajemy te dwie liczby jednocyfrowe, a ostatnią w wyniku zapisujemy pod kreską. $3+4=7,\;$ więc na pozycji jedności pod kreską piszemy $7:\;$

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \\ \;\;\begin{matrix} \ & \ & \ & 7\end{matrix} \end{matrix}$

Przechodzimy z dodawaniem do następnej kolumny, gdzie dodajemy do siebie liczby jednocyfrowe odpowiadające cyfrom dziesiątek. Cyfrą dziesiątek $653\;$ jest $5;\;$ cyfrą dziesiątek $274\;$ jest $7;\;$
$5+7=12;\;$ piszemy $2\;$ pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a $1\;$ przenosimy do kolumny setek:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & 1 & \ & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \\ \;\begin{matrix} \ & \ & 2 & 7\end{matrix} \end{matrix}$

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei
Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Pozostała kolumna setek: dodajemy $1+6+2\;$ z trzeciej kolumny otrzymując $9,\;$ piszemy $9\;$ w kolumnie setek pod kreską:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ 1 & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix} \\ \;\;\begin{matrix} \ & 9 & 2 & 7\end{matrix} \end{matrix}$

otrzymując wynik $653 + 274 = 927.\;$

Dodając pisemnie wiele liczb ("podliczanie słupków") wygodnie jest dodać osobno jednostki, dziesiątki, setki, itd., napisać wyniki (odpowiednio przesunięte) jeden pod drugim i ponownie zsumować. Pozwala to, w przypadku pomyłki, powtarzać tylko część obliczeń:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\ \ & \ & 1 & 2 & 3 \\ + & \ & 1 & 9 & 5 \\ + & \ & \ & 1 & 8 \\ + & \ & 3 & 4 & 7 \\ + & \ & 1 & 1 & 6 \\ + & \ & \ & 2 & 1 \\ + & \ & 8 & 2 & 3 \end{matrix}\\ \underline\begin{matrix} \ & \ & \ & 3 & 3 \\ + & \ & 2 & 1 & \ \\ + & 1 & 4 & \ & \ \end{matrix} \\ \;\begin{matrix} \ & 1 & 6 & 4 & 3\end{matrix} \end{matrix}$

Ciąg arytmetyczny – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz można otrzymać dodając wyraz bezpośrednio go poprzedzający oraz ustaloną liczbę, zwaną różnicą ciągu. Zwykle mówiąc o ciągu arytmetycznym zakładamy, iż jego wyrazy są liczbami rzeczywistymi, choć sporadycznie rozważa się również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Uwaga: Liczby można dodawać pisemnie tylko w systemach pozycyjnych.

Dodawanie liczb całkowitych

Możliwe są trzy przypadki, w zależności od znaku dodawanych liczb:

Jeśli obydwie są dodatnie, dodajemy je tak jak liczby naturalne powyżej.

Jeśli obydwie są ujemne $(-a\;$ i $-b),\;$ to należy dodać ich wartości bezwzględne i zmienić znak: $(-a)+(-b)=-(a+b)\;$ .

Jeśli jedna liczba jest dodatnia $(a)\;$ a druga ujemna $(-b)\;$ to dodawanie sprowadza się do odejmowania ich wartości bezwzględnych: $a+(-b)=a-b\;$ . Aby obliczyć $a-b\;$ , gdy $a<b\;$ , oblicza się $b-a\;$ i bierze otrzymany wynik ze znakiem "minus", czyli: $a-b=-(b-a)\;$ .

Jeśli jedna z liczb jest zerem, suma jest równa drugiemu składnikowi.

Dodawanie ułamków

Dla liczb wymiernych $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ dodawanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).

Następnie można zastosować wzór: $\frac{k}{m}+\frac{l}{m}=\frac{k+l}{m}$

Najmniejszym wspólnym mianownikiem jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dodawanych ułamków.

Przykład: $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}+\frac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9+2}{12}=\frac{11}{12}$

Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika można wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Dodawanie ułamków sprowadza się wtedy do wzoru: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db}=\frac{ad+cb}{bd}$

Przykład:

Wektor – obiekt geometryczny w matematyce elementarnej, istotny w inżynierii i fizyce mający moduł (zwany też długością lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem
Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości określonej terminem modulo (skracane mod).

$\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 6}{4\cdot 6}+\frac{1\cdot 4}{6\cdot 4}=\frac{3\cdot 6+1\cdot 4}{4\cdot 6}=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}$

W przypadku dodawania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć dodawane liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

$\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\ \ & 1 & 2, & 5 & \ \\ + & \ & 5, & 8 & 1 \end{matrix} \\ \;\;\begin{matrix} \ & 1 & 8, & 3 & 1\end{matrix} \end{matrix}$

Definicja formalna

Liczby naturalne na ogół definiuje się na jeden z dwóch sposobów: przez użycie liczb kardynalnych lub przez aksjomatykę Peano (zob. aksjomaty i konstrukcje liczb). W pierwszym przypadku dodawanie liczb naturalnych to nic innego jak dodawanie liczb kardynalnych, a w drugim dodawanie definiuje się indukcyjnie:

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

$a+1=a^\prime$

$a+b^\prime=(a+b)^\prime$

gdzie $a^\prime$ jest następnikiem liczby $a\;$ .

Działanie dodawania można krok po kroku definiować dla każdego rodzaju liczb:

dodawanie dwóch liczb całkowitych $a-b\;$ i $c-d\;$ , gdzie $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ , określone jest wzorem

$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)\;$ ;

dodawanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\;$ (w ogólności wzór ten jest definicją dodawania w dowolnym ciele ułamków);

dodawanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli $a_n\;$ jest ciągiem Cauchy'ego liczb wymiernych zbieżnym do $A\;$ , a $b_n\;$ jest zbieżnym do $B\;$ , to ciąg $c_n=a_n+b_n\;$ jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do $C=A+B\;$ ;

dodawanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\;$ ;

dodawanie dwóch kwaternionów określone jest wzorem

$(a+bi+cj+dk)+(p+qi+rj+sk)=(a+p)+(b+q)i+(c+r)j+(d+s)k\;$ .

Własności sumy wynikające z własności składników

Zapis oraz liczba składników

Dodawanie zwyczajowo oznacza się symbolem $+\;$ , na przykład: $2 + 2 = 4\;$ .

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Zwykle jest ono rozpatrywane jako działanie dwuargumentowe, można jednak dodawać też mniej niż dwie liczby:

sumą zawierającą jeden składnik $x\;$ jest $x\;$ ;

sumą zawierającą zero składników jest liczba zero, ponieważ liczba zero jest elementem neutralnym dodawania.

Sumę $a+b+c\;$ można rozumieć jako $(a+b)+c\;$ lub $a+(b+c)\;$ . Obydwa te wyrażenia są równoważne, gdyż dodawanie jest łączne.

Jeżeli sumujemy wiele składników, wygodnie jest stosować uproszczone zapisy, takie jak wielokropki: $1 + 2 + \dots + n$ .

Operacja zdefiniowana dla liczb kardynalnych podobnie jak następnik liczby porządkowe w taki sposób, ze pomiędzy daną liczbą kardynalną κ a jej następnikiem κ nie ma innych liczb kardynalnych.
Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

Nieskończone sumy liczb bądź funkcji są nazywane szeregami, np. $1+ \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots$ jest szczególnym przypadkiem szeregu geometrycznego. Są one ważnym przedmiotem badań analizy matematycznej. Niektóre typowe prawa dodawania nie są tu spełnione, np. zmiana kolejności składników szeregu nieskończonego może zmienić jego sumę.

Gdy rozważa się skomplikowane sumy, stosuje się także zapis z grecką dużą literą sigma:

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.
Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości określonej terminem modulo (skracane mod).

$\sum\limits_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n$

czytany "suma składników postaci $a_i\;$ rozciągnięta na wszystkie wskaźniki $i\;$ od $1\;$ do $n\;$ ".

Analogicznie można zapisywać szeregi: $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1.$

Suma nie musi rozpoczynać się od 1, może rozpoczynać się od dowolnej całkowitej liczby (a także od $-\infty\;$ przy zapisywaniu szeregów "od końca").

Notację sigma można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:

Odejmowanie - jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.
Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

$\sum\limits_{0\le x< n} f(x)\;$ jest sumą składników postaci $f(x)\;$ dla każdego całkowitego $x\;$ w pewnym przedziale

$\sum\limits_{x\in S} f(x)\;$ jest sumą składników postaci $f(x)\;$ dla każdego $x\in S\;$ (niekoniecznie całkowitego)

$\sum\limits_{d|n}\;\mu(d)\;$ jest sumą wszystkich $\mu(d)\;$ dla każdego całkowitego $d\;$ dzielącego $n\;$

$\sum\limits_{R(x)} f(x)\;$ gdzie $R(x)\;$ jest dowolną relacją zależną od $x\;$ .

Możliwe jest także używanie sigmy do zapisywania sum podwójnych.

Sigma (st.gr. σῖγμα, nw.gr. σίγμα, pisana Σσ lub ς) jest osiemnastą literą współczesnego alfabetu greckiego, przy czym "Σ" to majuskuła, "σ" to minuskuła pisana w środku wyrazu, zaś "ς" na jego końcu. W dawnym greckim systemie liczbowym używano jej również do oznaczania liczby 200.
Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Analogiczne zapisy można stosować przy mnożeniu. Zamiast dużej litery sigma, stosowana jest wtedy duża litera pi: $\prod\;$

Przybliżanie całkami oznaczonymi

Dla dowolnej rosnącej funkcji $f\;$ zachodzi następująca zależność między całkami a sumami: $\int\limits_{a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int\limits_{a}^{b+1} f(s)\, ds.$

Wzory sumacyjne

Zobacz w Wikiźródłach tekst
Sumy

$\sum_{i=1}^n x = nx$

$\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$

$\sum_{i=0}^n i = \frac {n(n+1)}{2}$ (suma ciągu arytmetycznego)

$\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2$

$\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}$

gdzie $B_k$ jest k-tą liczbą Bernoulliego.

$\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^{m}}{x-1}$ (patrz szereg geometryczny)

$\sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ (szczególny przypadek poprzedniego wzoru dla m = 0)

$\sum_{i=0}^n ix^{i-1} = \frac{1-(n+1)x^n + n x^{n+1}}{(x-1)^2}$

$\sum^n_{i=1}(-1)^i=\frac{1}{2}\bigg((-1)^n-1\bigg)$

$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n$ (patrz dwumian Newtona)

$\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}$

$\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j$ (prawo rozdzielności dla iloczynu sum, prawdziwe dla sum skończonych i szeregów bezwzględnie zbieżnych)

$\left(\sum_i a_i\right)^2 = \sum_i\sum_j a_ia_j = 2\sum_i\sum_{j<i} a_ia_j + \sum_i a_i^2$

$\sum\limits_{R(i)} a_i = \sum\limits_{R(j)} a_j = \sum\limits_{R(p(j))} a_{p(j)}$ (zamiana zmiennych)

$\sum\limits_{R(i)} \sum\limits_{S(j)} a_{ij} = \sum\limits_{S(j)} \sum\limits_{R(i)} a_{ij}$ (zamiana kolejności sumowania)

$\sum\limits_{R(j)} a_j + \sum\limits_{S(j)} a_j = \sum\limits_{R(j) \; \scriptstyle{lub} \; S(j)} a_j + \sum\limits_{R(j) \; \scriptstyle{i} \; S(j)} a_j$ (manipulacja dziedziną)

Suma funkcji

Sumę funkcji $f,g\colon X\to Y$ , gdzie $Y\;$ jest pewnym zbiorem ze zdefiniowanym działaniem dodawania (np. grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako

Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.
Kąt skierowany – para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\;$ dla wszystkich $x\in X\;$ .

Przykłady użycia:

Traktując macierze jako funkcje można określić działanie dodawania macierzy. Aby dodać dwie macierze o tych samych wymiarach wystarczy dodać ich odpowiednie elementy.

Traktując ciągi jako funkcje można określić dodawanie ciągów.

Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ otrzymujemy analogiczną definicję dodawania, używaną w analizie matematycznej.

Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując $3x^2+x+5\;$ jako $(5, 1, 3, 0, 0, \dots)$ ) otrzymuje się definicję sumy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby dodać dwa wielomiany należy dodać ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na pierścień szeregów formalnych.

Różnica symetryczna zbiorów A i B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B oraz te, które należą do zbioru B, ale nie należą do zbioru A.
Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)