Dwumian Newtona - Polski Serwis Naukowy

Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu $(x + y)^n$ można rozwinąć w sumę jednomianów postaci $a x^k y^l$ . W każdym z tych jednomianów współczynnik $a$ jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy $x$ oraz $y$ sumują się do $n$ . Współczynniki $a$ przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych) ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.

Twierdzenie

Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala.

Jeśli $x,y$ są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu $x + y$ można rozłożyć na sumę postaci

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

$(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + \dots + \binom{n}{n}y^n,$ gdzie $\tbinom nk$ oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując $x^0=y^0 =1$ (także w przypadku, gdy $x=0$ lub $y=0$ ) można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k.$ Uwagi

W szczególności dla $x=1$ lub $y=1$ dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona $(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \; {n \choose k} \; x^k$
Współczynniki dwumianowe są elementami $n+1$ wiersza w trójkącie Pascala

Przykłady $(x+y)^1=x+y$ $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Dowód twierdzenia

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla $n = 1$ jest

Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna.

$(x + y)^1 = x + y = \binom{1}{0} x y^0 + \binom{1}{1} x^0 y = \sum_{k = 0}^{1} \binom{1}{k} x^{1 - k} y^k$

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego $n$ . Wtedy dla $n + 1$ mamy $\begin{align} (x + y)^{n + 1} & = (x + y)(x + y)^n = (x + y)\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k = \\ & = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^{n - k + 1} y^k + \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^{n - k} y^{k + 1} = \\ & = \binom{n}{0} x^{n+1} + \sum_{k = 1}^n \left[\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right] x^{n - k + 1} y^k + \binom{n}{n} y^{n+1} = \\ & = \binom{n+1}{0} x^{n+1} + \sum_{k = 1}^n \binom{n+1}{k} x^{(n + 1) - k} y^k + \binom{n+1}{n+1} y^{n+1} = \\ & = \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^{(n + 1) - k } y^{k} \end{align}$

co kończy dowód.

Historia

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise'owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim. W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2, podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym w X w. n.e. matematykowi hinduskiemu Halajudzie, w XI w. n.e. matematykowi perskiemu Omarowi Chajjamowi i w XIII w. matematykowi chińskiemu Yang Hui, którzy uzyskali podobne wyniki.

Uogólnienie

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) $r$ -tą potęgę sumy $x+y$ , w której $x,y$ są rzeczywiste, $y>0$ oraz $|\tfrac{x}{y}|<1$ : $(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}$

Przypisy

W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością
Binomial Theorem
J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), ss. 147–157
James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].