Dwustosunek - Polski Serwis Naukowy

Dwustosunek (stosunek anharmoniczny) czterech współliniowych punktów – funkcja postaci $(A,B;C,D)\rightarrow\frac{A^*-C^*}{A^*-D^*}\cdot\frac{B^*-D^*}{B^*-C^*}$

gdzie punkty A,B,C,D spełniają $A\not=D, B\not=C$

oraz $X^*$ jest współrzędną punktu X w układzie współrzędnych na danej prostej. Jest to podstawowe pojęcie geometrii rzutowej.

Jak widać, powyższa definicja zakłada istnienie układu współrzędnych na rozpatrywanej prostej.

Jeśli dwustosunek stosujemy na płaszczyźnie euklidesowej to wystarczy zbudować dowolny kartezjański układ współrzędnych wykorzystując relację przystawania i relację prostopadłości. Jeśli stosujemy go na płaszczyźnie rzutowej to trzeba zbudować jakiś rzutowy układ współrzędnych wykorzystując relację harmoniczności punktów rzutowych

Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
Geometria uporządkowania – geometria, której jedynymi pojęciami pierwotnymi są punkty A, B, C, ... oraz trzyargumentowa relacja leżenia między [ABC], która zachodzi wtedy, gdy punkt B leży między punktami A i C. Geometria uporządkowania jest bazą dla geometrii absolutnej i geometrii afinicznej.

Wybór układu współrzędnych z wielu możliwych nie wpływa na wartość dwustosunku.

Własności arytmetyczne dwustosunku

$(A,B;C,D) = (C,D;A,B)\,$
$(A,B;C,D)\cdot(A,B;D,C) = 1\,$
$(A,B;C,D) + (A,C;B,D) = 1 \,$
$(A,B;C,D)\cdot(A,B;D,E) = (A,B;C,E) \,$
$\forall (A,B,C \in p) \forall (z \in R )\exists (D\in p) : (A,B;C,D)=z \,\quad,$ (p oznacza prostą, R jest ciałem liczbowym)

W niektórych ujęciach powyższe własności dołączane są do aksjomatyki 2-wymiarowej geometrii rzutowej jako aksjomaty opisujące pierwotną funkcję dwustosunku.

Ponadto

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
Zasada dualności w geometrii rzutowej mówi, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej jest równoważne twierdzeniu które otrzymamy, jeśli zamienimy w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na"). Na przykład, gdy mamy twierdzenie mówiące o współliniowości kilku punktów, istnieje dualne do niego twierdzenie o współpękowości odpowiednich kilku prostych.

$A=C \vee B=D \Rightarrow (A,B;C,D)=0 \,$
$A=B \vee C=D \Rightarrow (A,B;C,D)=1\,$
$A\rightarrow D \vee B\rightarrow C \Rightarrow (A,B;C,D)\rightarrow \infty\,$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)