Dysjunkcja - logika - Polski Serwis Naukowy

Dysjunkcja (dyzjunkcja, dysjunkcja/dyzjunkcja Sheffera, funkcja Sheffera, NAND, w terminologii Jana Łukasiewicza niewspółzachodzenie) – zdanie lub funkcja zdaniowa utworzone za pomocą funktora dysjunkcji, jednego z dwuargumentowych funktorów zdaniotwórczych rachunku zdań. Symbolem funktora dysjunkcji jest przeważnie ukośna kreska /. W języku potocznym funktorowi dysjunkcji odpowiada swobodnie funktor „bądź..., bądź...”. Wyrażenie "p / q" odczytywać można „bądź p, bądź q”, „albo p, albo q” (w znaczeniu „zachodzi najwyżej jedno z dwojga”, por.), jako że dysjunkcja jest negacją koniunkcji („nieprawda, że zarazem p i q”). Pojęcie dysjunkcji wprowadził w 1913 Henry Sheffer.

Funkcja zdaniowa (inaczej predykat lub forma zdaniowa) to wyrażenie językowe zawierające zmienne wolne, które w wyniku związania tych zmiennych kwantyfikatorami lub podstawienia za nie odpowiednich nazw staje się zdaniem.

Transactions of the American Mathematical Society - czasopismo naukowe o tematyce matematycznej (miesięcznik) wydawane przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne od 1900 roku. Artykuły zamieszczane w czasopiśmie muszą być nie krótsze niż 15 stron. Czasopismo znajduje się na tzw. liście filadelfijskiej.

Wartość logiczna

Zdanie utworzone za pomocą spójnika dysjunkcji jest fałszywe tylko wtedy, gdy prawdziwe są oba argumenty tego spójnika; w przeciwnym wypadku jest zawsze zdaniem prawdziwym.

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe 0 – fałszywe

Wybrane własności

Funktor dysjunkcji posiada pewne własności interesujące ze względu na ekonomię zapisu: prócz binegacji jest jedynym funktorem, za pomocą którego można zdefiniować wszystkie inne; ponadto jest jedynym funktorem jedynego aksjomatu dysjunkcyjnego rachunku zdań.

Twierdzenie, że za pomocą funktora dysjunkcji zdefiniować można wszystkie pozostałe, pochodzi od logika Henry'ego Sheffera, który opublikował je w 1913 w artykule A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants. Wcześniej na ten pomysł wpadł Charles Peirce (artykuł A Boolean Algebra with One Constant z 1880), lecz nie został on dostrzeżony. W 1925 Eustachy Żyliński udowodnił, że nie istnieje żaden inny niż binegacja i dysjunkcja funktor rachunku zdań, za pomocą którego zdefiniować można wszystkie pozostałe.

Inne funktory logiczne definiowane są w sposób następujący: $\neg p \iff p / p,$ $p \wedge q \iff \neg \neg (p \wedge q) \iff \neg (p / q),$ $p \vee q \iff \neg \neg (p \vee q) \iff \neg ((\neg p) \wedge (\neg q)) \iff \neg ((p / p) \wedge (q / q)) \iff (p / p) / (q / q),$ $p \rightarrow q \iff p / (q / q) \iff p / (p / q).$

Funktor dysjunkcji stanowi jedyny termin pierwotny rachunku zdań w stylizacji zwanej dysjunkcyjnym rachunkiem zdań. Dysjunkcyjny rachunek zdań jest jedyną formą klasycznego rachunku zdań, w której występuje tylko jeden aksjomat. Aksjomatem tym jest aksjomat Nicoda-Łukasiewicza (forma aksjomatu Mereditha), sformułowany przez Jeana Nicoda (A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic, 1917), uproszczony przez Jana Łukasiewicza (Uwagi o aksjomacie Nicoda i o "definicji uogólniającej", 1933).

Bramka logiczna

Realizacją operacji NAND w elektronice jest bramka logiczna NAND. Oznaczana jest symbolem:

Inne znaczenia terminu "dysjunkcja" w logice

Niekiedy można spotkać się z rozumieniem dysjunkcji jako kontrawalencji, czyli alternatywy wykluczającej; w tym znaczeniu słowo to bywa używane w literaturze z zakresu nauk humanistycznych.
Sporadycznie spotyka się użycie terminu "dysjunkcja" w znaczeniu binegacji.
W literaturze z zakresu informatyki spotyka się słowo "dysjunkcja" w znaczeniu zapożyczonym z języka angielskiego, gdzie jest ono synonimem alternatywy. Angielskim odpowiednikiem polskiej dysjunkcji jest natomiast termin "alternative denial".

Zobacz też

Zobacz hasło NAND w Wikisłowniku

binegacja

aksjomat Nicoda-Łukasiewicza

dysjunkcyjny rachunek zdań

Bibliografia

Charles Peirce, 1880. "A Boolean Algebra with One Constant". In Hartshorne, C, and Weiss, P., eds., (1931-35) Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. 4: 12-20. Harvard University Press.

H. M. Sheffer, 1913. "A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants," Transactions of the American Mathematical Society 14: 481-488.

Linki zewnętrzne

Artykuł Nicoda A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic w Wikisource