Działanie algebraiczne - Polski Serwis Naukowy

Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.

Najczęściej mówi się o działaniach jedno- i dwuargumentowych, choć mogą one mieć ich więcej lub mniej (zero). Działania jednoargumentowe (unarne) dają wynik na podstawie tylko jednej wartości, czego przykładem są np. negacja, czy funkcje trygonometryczne. Często argumentami i wynikami działań są wartości liczbowe. Działania dwuargumentowe (binarne) na liczbach przyjmują dwie wartości dając trzecią, wśród przykładów można wymienić dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, czy potęgowanie.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.

Działania nie muszą dotyczyć tylko liczb, a dowolnych obiektów matematycznych, np. wektor może być pomnożony przez skalar, aby dać inny wektor; działanie iloczynu skalarnego dwóch wektorów daje skalar. Działania logiczne takie jak koniunkcja („i”), alternatywa („lub”), czy negacja („nie”) łączą ze sobą wartości logiczne prawdy i fałszu. Dodaje się i odejmuje wektory. Za pomocą działania składania funkcji łączy się ze sobą obroty, jeden po drugim. Działania na zbiorach obejmują działania dwuargumentowe sumy i iloczynu zbiorów oraz jednoargumentowe dopełnienie. Wśród działań na funkcjach można wymienić złożenie, czy splot.

Działanie zeroargumentowe (element wyróżniony) – w algebrze pojęcie służące do zapisu stałej jako działania algebraicznego. Ma ono swoje zastosowanie prawie wyłącznie jako element opisu pewnej algebry ogólnej: krotki zawierającej jako pierwszy element swój nośnik (zbiór elementów), a następnie działania.

Logika (gr. λόγος, logos - rozum) nauka normatywna, analizująca źródła poznania pod względem prawomocności czynności poznawczych z nimi związanych. Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika, jako dyscyplina normatywna, nie tylko opisuje jak faktycznie przebiegają rozumowania, ale także formułuje twierdzenia normatywne, mówiące o tym, jak rozumowania powinny przebiegać.

Ponadto działania mogą przejawiać, lub nie, określone własności, np. łączność, przemienność, antyprzemienność, idempotentność itp.

Działanie jest podobne do operatora; różni je punkt widzenia: często mówi się o „działaniu dodawania”, gdy chce się położyć nacisk na argumenty i wynik, lecz mówiąc „operator dodawania” bardziej skupia się na samym procesie lub, z bardziej abstrakcyjnego punktu widzenia, na funkcji $+\colon X \times X \to X.$

Odejmowanie - jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Definicja

Działanie $\omega$ to funkcja postaci $X_1 \times \dots \times X_n \to Y.$

Zbiory $X_i$ nazywa się dziedzinami działania, zbiór $Y$ nosi nazwę przeciwdziedziny działania, z kolei ustaloną liczbę $n$ (liczba argumentów) nazywa się typem, arnością lub argumentowością działania. W ten sposób działanie jednoargumentowe (unarne) ma argumentowość/arność równą 1, a działanie dwuargumentowe (binarne) ma argumentowość/arność 2. Działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny $Y.$ Działanie o arności $n$ nazywa się działaniem $n$ -arnym lub $n$ -argumentowym. W ten sposób działanie $n$ -argumentowe jest $(n+1)$ -argumentową relacją, która jest funkcyjna na swoich pierwszych $n$ dziedzinach.

Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

Działanie dwuargumentowe (binarne) to w matematyce funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru X przypisuje określony element pewnego zbioru Y.

Powyższa definicja obejmuje tzw. działania skończone, co odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną liczbą porządkową lub kardynalną, a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.

Stosując termin „działanie” często zakłada się, że dziedzina funkcji jest potęgą przeciwdziedziny (tzn. iloczynem kartezjańskim jednej lub więcej egzemplarzy przeciwdziedziny) – takie działania nazywa się wewnętrznymi – choć nie jest tak w ogólności, czego przykładem może być mnożenie wektora przez skalar; działania niebędące wewnętrznymi nazywa się, dla zaznaczenia tego faktu, zewnętrznymi.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

W logice, matematyce i informatyce argumentowość (lub arność) – liczba argumentów funkcji, funkcji zdaniowej, relacji, operatora lub symbolu funkcyjnego.

W najogólniejszym podanym tu sensie „działanie” jest synonimem funkcji, przekształcenia, czy odwzorowania, tj. relacji, która z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.

Zobacz też

Zobacz hasło działanie w Wikisłowniku

działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie,

element neutralny, element odwrotny,

struktura algebraiczna.

Przypisy

zob. np. rozdz. II, def. 1.1 w: S. N. Burris i H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, 1981. [1]