Działanie dwuargumentowe - Polski Serwis Naukowy

Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

Oznaczenia

Osobne artykuły: zapis przedrostkowy, zapis wrostkowy i zapis przyrostkowy.

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. $f(a, b),$ opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. $a \oplus b,$ choć oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) $\diamondsuit$ wyróżnia się notacje

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

przedrostkową, prefiksową lub polską, $\diamondsuit(x, y),$

przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską, $(x, y)\diamondsuit,$

wrostkowa, infiksowa, $(x \;\diamondsuit\; y).$

Przykładowo wyrażenie wrostkowe $2 \cdot (4 - 1) + 3,$ będzie miało następującą postać

prefiksową: $+\, \cdot\, 2\, -\, 4\; 1\; 3$ ,

postfiksową: $2\, 4\, 1\, -\, \cdot\, 3\, +$ .

Przewagą notacji przyrostkowej jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.

plus: $+ \oplus \bigoplus \uplus \biguplus \boxplus$ lub

zwężających się ku dołowi: $\cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee.$

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę $- \circleddash \ominus \boxminus.$

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

kropkę lub okrągły znak: $\cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc,$

iks: $\times \otimes \bigotimes \boxtimes,$

gwiazdkę: $\star \ast \circledast$ lub

zwężające się ku górze $\cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge.$

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez $\cdot^{-1},$ notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Działanie zeroargumentowe (element wyróżniony) – w algebrze pojęcie służące do zapisu stałej jako działania algebraicznego. Ma ono swoje zastosowanie prawie wyłącznie jako element opisu pewnej algebry ogólnej: krotki zawierającej jako pierwszy element swój nośnik (zbiór elementów), a następnie działania.

Przykłady

Zapoznaj się również z: algebra ogólna.

Działania wewnętrzne

Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru $X$ element tego zbioru, $\heartsuit\colon X \times X \to X,\quad \forall_{x, y \in X}\; (x, y) \mapsto \heartsuit(x, y)$

Strukturę $(X, \heartsuit)$ nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie $\heartsuit$ ma dodatkowo element neutralny, to struktura $(X, \heartsuit)$ jest monoidem. Jeśli struktura $(X, \diamondsuit, \heartsuit)$ jest grupą ze względu na przemienne działanie $\diamondsuit$ i półgrupą ze względu na $\heartsuit,$ przy czym działanie $\heartsuit$ jest rozdzielne względem $\diamondsuit,$ to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie $\heartsuit$ jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Zajmuje się on strukturami algebraicznymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego faktoryzacją i znajdowaniem ich pierwiastków, jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci $(x, 0).$ Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest $0,$ elementem neutralnym mnożenia jest $1.$ Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

Półgrupa to struktura algebraiczna, na którą składa się pewien zbiór wraz z określonym w nim działaniem, przy czym działanie to musi być łączne i wewnętrzne. Szczególnymi przypadkami półgrup są monoid i grupa.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: $x^y,$ które parze liczb $(x, y)$ przypisuje odpowiednią potęgę: $\forall_{x, y \in \mathbb N}\;(x, y) \mapsto x^y.$

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.

Działanie składania funkcji $\circ\colon X \times X \to X$ jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze $X.$ W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.

Działania zewnętrzne

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdej elementom iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$ oraz $Y$ element pewnego zbioru $Z,$

W logice, matematyce i informatyce argumentowość (lub arność) – liczba argumentów funkcji, funkcji zdaniowej, relacji, operatora lub symbolu funkcyjnego.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

$\spadesuit\colon X \times Y \to Z,\quad \forall_{x \in X, y \in Y}\; (x, y) \mapsto \spadesuit(x, y)$

Przykładami takich działań są

mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K,$ $\cdot\colon K \times V \to V,$

działanie grupy $G$ na zbiorze $X,$ $\varphi\colon G \times X \to X,$

Zobacz też

działanie zeroargumentowe,

działanie jednoargumentowe.