Ekstrapolacja - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja.

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Ekstrapolacja iterowana Richardsona

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h. Wynikiem jej działania jest F(h). Wartością dokładną jest F(0). Trudności obliczeniowe rosną gdy h maleje.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia ( $p_1<p_2<p_3<...$ ) $F(h)=a_0+a_1 h^{p_1}+a_2 h^{p_2}+a_3 h^{p_3}...$

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości $F(h_0), F(q^{-1} h_0), F(q^{-2} h_0), F(q^{-3} h_0) ... q>1$

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji , którego n-ty wyraz ma rozwinięcie: $F_n(h)=a_0+a_{n,n} h^{p_n}+a_{n,n+1} h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2} h^{p_{n+2}}...$

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa $h_0$ i liczba q>1, stosuje się wzór rekurencyjny: $A_{m,0}=F(q^{-m}h_0)$ $m=0,1,2...$ $A_{m,k}=A_{m,k-1}+\frac{A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_k}-1}$ $k=1,2,3...$ $F_n(h_0)=A_{n-1,n-1}$ $n=2,3,4...$

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego

$f(x_0+h)=f(x_0)+h f'(x_0)+\frac{h^2}{2!}f''(x_0)+\frac{h^3}{3!}f^{(3)}(x_0)+...$

Różnica progresywna $D_p(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)+\frac{h}{2!}f''(x_0)+\frac{h^2}{3!}f^{(3)}(x_0)+...$ $p_1=1,p_2=2, p_3=3, ...$

Zobacz też

ekstrapolacja trendów