Ekstremum - Polski Serwis Naukowy

Ekstrema lokalne funkcji $\scriptstyle{f(x)=2x^3-9x^2+12x-3}$ zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)

Ekstremum (l. mn. ekstrema; z łac. extrēmum – koniec) – w analizie matematycznej największa lub najmniejsza wartość funkcji.

Funkcja $f(x)\,$ przyjmuje w punkcie $x_0\,$ maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).

Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu $x_0\,$ funkcja nie ma również wartości równych $f(x_0),\,$ to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe.

Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi.

Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi.

Obrazowo: Na powierzchni Ziemi maksimum globalne wysokości nad poziomem morza występuje na szczycie Mount Everestu, maksimum lokalnym jest szczyt każdego pagórka. Jeśli szczyt pagórka jest poziomy i płaski (a także niekiedy w innych przypadkach), nie będzie to maksimum lokalne właściwe.

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.
Mechanika klasyczna – dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana "mechaniką Newtona" (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu.

Istnieją funkcje nie posiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja $f(x)=x.\,$

Poszukiwanie ekstremów jest ważne w praktycznych zastosowaniach matematyki, na przykład w technice i statystyce. Wiele zagadnień optymalizacyjnych sprowadza się do poszukiwania ekstremów odpowiednich funkcji, jak na przykład funkcji kosztu, albo miary jakości dla różnych parametrów danego urządzenia.

Teoria ekstremów w naturalny sposób ma silny związek z teorią nierówności: wiele problemów i twierdzeń można formułować równoważnie tak w języku ekstremów jak i nierówności, co rzuca światło na obie te dziedziny.

Hesjan, macierz Hessego - macierz (kwadratowa) drugich pochodnych cząstkowych funkcji o wartościach rzeczywistych, dwukrotnie różniczkowalnej w pewnym punkcie dziedziny. Czasem, pod pojęciem hesjanu rozumie się wyznacznik macierzy Hessego. Nazwa została wprowadzona przez Jamesa Sylvestera dla upamiętnienia nazwiska niemieckiego matematyka, Ludwiga Hessego.
Lewica – zwyczajowe określenie sił politycznych dążących do zmian polityczno-ustrojowych, społecznych i gospodarczych, przeciwstawiających się tzw. tradycyjnemu porządkowi społecznemu, przeciwne prawicy. Głównymi założeniami lewicy jest dążenie do wolności, równości i sprawiedliwości społecznej.

Funkcje, dla których można rozważać ekstrema

Funkcja jako przyporządkowanie

W matematyce wartością funkcji nie musi być koniecznie liczba – funkcją jest dowolne przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru zwanego dziedziną po jednym elemencie zbioru zwanego przeciwdziedziną. Funkcją jest więc również przyporządkowanie każdemu łysemu aktorowi Teatru Wielkiego koloru włosów jego ulubionej peruki.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Pojęcie ekstremum wymaga, by wartości funkcji dało się ze sobą porównywać – w przeciwdziedzinie funkcji powinien być zatem zdefiniowany jakiś porządek. Zbiór uporządkowany, i to liniowo, tworzą np. liczby rzeczywiste. Nie ma natomiast powszechnie przyjętego uporządkowania kolorów, zwłaszcza porządku liniowego.

Johann Bernoulli ( ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 , tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony.
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

W przypadku ekstremum lokalnego konieczne jest ponadto sprecyzowanie pojęcia "lokalności". Dokonuje się to przez określenie dla każdego argumentu funkcji, które punkty z jej dziedziny są mu "bliskie". Formalizując to podejście określamy w każdym punkcie dziedziny funkcji tak zwaną bazę otoczeń punktu. Dla liczby rzeczywistej otoczeniem jest np. przedział otwarty, zawierający tę liczbę. Ogólnie, zbiór z systemem otoczeń, spełniającym pewne naturalne warunki tworzy tzw. przestrzeń topologiczną.

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.
Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.

O ekstremach lokalnych można zatem mówić w przypadku dowolnej funkcji, której dziedzina jest przestrzenią topologiczną, a przeciwdziedzina zbiorem częściowo uporządkowanym. Ze względu na zastosowania najczęściej rozważa się szczególny przypadek – funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o wartościach w liczbach rzeczywistych, których dziedzina jest podzbiorem skończeniewymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Korelacja rangowa – dowolna statystyka pozwalająca na określenie zależności zmiennych losowych w sposób niezmienniczy ze względu na operację rangowania.
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicje

Funkcja $f\,$ o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie $x_0\,$ tej przestrzeni:

minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte $U$ punktu $x_0\,$ takie, że dla każdego $x\in U\,$

$f(x)\geqslant f(x_0)\,$ więc nie występują w okolicy punktu $x_0\,$ wartości funkcji mniejsze od $f(x_0)\,$ (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte $U\,$ punktu $x_0\,$ takie, że dla każdego $x\in U\,$

$f(x)\leqslant f(x_0)\,$ więc nie występują w okolicy punktu $x_0\,$ wartości funkcji większe od $f(x_0)\,$ (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;

właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym $U\,$ punktu $x_0\,$ funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od $f(x_0)\,$ czyli nie ma wartości równych dla $x\ne x_0,\,$ formalnie:

$x=x_0 \vee f(x)> f(x_0)\,$ dla każdego $x\in U\,$

właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym $U\,$ punktu $x_0\,$ funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od $f(x_0),\,$ formalnie:

$x=x_0 \vee f(x)< f(x_0)\,$ dla każdego $x\in U\,$

Funkcja $f\,$ o wartościach w zbiorze uporządkowanym ma w punkcie $x_0\,$ swojej dziedziny:

Elżbieta Pleszczyńska (ur. 20 marca 1933) – statystyk, profesor zwyczajny nauk matematycznych, działaczka społeczna na rzecz pomocy niepełnosprawnym.
Statystyka – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

minimum globalne, jeśli dla każdego $x\,$ należącego do jej dziedziny:

$f(x)\geqslant f(x_0)\,$

maksimum globalne, jeśli dla każdego $x\,$ należącego do jej dziedziny:

$f(x)\leqslant f(x_0)\,$

właściwe minimum globalne, jeśli dla każdego $x\,$ należącego do jej dziedziny:

$x=x_0 \vee f(x)> f(x_0)\,$ czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu $x_0\,$ wartości większe od $f(x_0)\,$

właściwe maksimum globalne, jeśli dla każdego $x\,$ należącego do jej dziedziny:

$x=x_0 \vee f(x)< f(x_0)\,$ czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu $x_0\,$ wartości mniejsze od $f(x_0)\,$

Nie każda funkcja posiada ekstrema. Jeśli funkcja nie jest ograniczona (np. $f(x)=x\,$ ), to nie ma maksimum ani minimum globalnego – jeżeli nie jest ograniczona od góry, to nie ma maksimum globalnego; a jeżeli od dołu, to nie ma minimum globalnego.

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Można też mówić o maksimach i minimach w podzbiorze dziedziny – są to wówczas największe lub najmniejsze wartości funkcji dla argumentów z tego podzbioru.

Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej

Proste przykłady ekstremów

Funkcja cosinus osiąga maksimum dla każdej parzystej wielokrotności $\pi,$ czyli $\dots, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, \dots$ oraz minimum dla każdej nieparzystej wielokrotności $\pi,$ czyli $\dots, -5\pi, -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, 5\pi, \dots.$ Są to lokalne ekstrema właściwe i jednocześnie ekstrema globalne (ale nie globalne ekstrema właściwe!).

Funkcja kwadratowa $f(x)=x^2\,$ osiąga właściwe minimum (lokalne i globalne) dla $x=0\,.$ Nie ma maksimum, nawet lokalnego. Dla każdego argumentu można w jego bezpośrednim sąsiedztwie wskazać punkt w którym funkcja przyjmuje większą wartość.

Tabele krzyżowe (albo rozdzielcze, kontyngencji, w przypadku dwóch wskaźników także dwudzielcze) przedstawiają łączne rozkłady dwóch lub większej ilości zmiennych. Tabele krzyżowe prezentowane są zazwyczaj w postaci macierzowej. podczas gdy rozkład częstości informuje o rozkładzie jednej zmiennej, tablica kontyngencji opisuje jednocześnie rozkład dwóch lub większej ilości zmiennych. Każda komórka pokazuje ilość respondentów, którzy udzielili określonej kombinacji odpowiedzi.
Korelacja rang Spearmana (lub: korelacja rangowa Spearmana, rho Spearmana) – w statystyce jedna z nieparametrycznych miar monotonicznej zależności statystycznej między zmiennymi losowymi.

Funkcja entier osiąga w każdym punkcie maksimum lokalne niewłaściwe. Minimum lokalne występuje jednak tylko dla liczb niecałkowitych. W każdym otoczeniu liczby całkowitej z lewej strony występują mniejsze wartości funkcji. Nie ma ekstremów globalnych.

Funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\scriptstyle{x^2(1+\sin\frac{1}{x}),\; x\neq 0}\\\scriptstyle{0,\; x=0}\end{array}\right.$ ma w punkcie $x_0=0\,$ minimum lokalne, jednak nie jest to minimum właściwe – w dowolnej bliskości tego punktu można znaleźć inne punkty, w których przyjmuje ona tę samą wartość (oprócz tego posiada nieskończoną liczbę minimów i maksimów właściwych).

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).
Entropia – w ramach teorii informacji jest definiowana jako średnia ilość informacji, przypadająca na znak symbolizujący zajście zdarzenia z pewnego zbioru. Zdarzenia w tym zbiorze mają przypisane prawdopodobieństwa wystąpienia.

Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny

Fragment wykresu funkcji $\scriptstyle{f\colon \mathbb{Q}\ni \frac{p}{q}\mapsto \left| \frac{q}{\operatorname{NWD}(p,q)} \right| },$ mającej właściwe minimum w każdym punkcie swojej dziedziny. Kropki – punkty $\scriptstyle{\left( \frac{p}{q},q \right)}$ odpowiadają nieskracalnym ułamkom $\scriptstyle{\frac{p}{q}}$

Niech funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie wymiernej wartość mianownika wyrażającego ją ułamka skróconego. Formalnie:

Brachistochrona to krzywa, po której czas staczania się masy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos (βραχιστoς) - "najkrótszy" i chronos (χρovoς) - "czas".
Skala porządkowa – jeden z rodzajów skal pomiarowych. Zmienne są na skali porządkowej, gdy przyjmują wartości, dla których dane jest uporządkowanie (kolejność), jednak nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.

$f\colon \mathbb{Q}\ni \frac{p}{q}\mapsto \left| \frac{q}{\operatorname{NWD}(p,q)} \right|$

gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik.

Dla dowolnego wymiernego $x$ istnieje otoczenie otwarte w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji $f$ . A zatem funkcja ta ma dla każdej liczby wymiernej (czyli dla każdego punktu swojej dziedziny) właściwe minimum lokalne.

Warunek wystarczający ekstremum globalnego (twierdzenie Weierstrassa)

Z twierdzenia Weierstrassa wiadomo, że funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych, określona na zbiorze zwartym (a więc np. na przedziale domkniętym), osiąga ekstrema globalne. Twierdzenie to jest prawdziwe w pełnej ogólności – a więc nie tylko dla funkcji liczbowych, a dla dowolnych funkcji ciągłych, określonych na zwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni topologicznych.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Sir Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

Funkcje różniczkowalne

W dalszej części sekcji rozważane będą funkcje $f\colon [a,b] \to \mathbb R$ ciągłe oraz różniczkowalne w przedziale $(a,b).\,$ Geometrycznie oznacza to, że ich wykres jest "nieprzerwany" i "gładki", czyli ma w każdym punkcie styczną.

Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata)

Funkcja $\scriptstyle{g(x)=x^3}$ nie ma dla $x=0\,$ ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremów lokalnych funkcji $f\,$ w pewnym punkcie $x_0\in (a,b)$ jest $f^\prime (x_0)=0$

Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji jest w tym punkcie prostą poziomą. Jest to tzw. twierdzenie Fermata. Udowodnijmy je:

Paraboloida hiperboliczna to nieograniczona powierzchnia drugiego stopnia posiadająca jedną oś symetrii i dwie płaszczyzny symetrii, jedna z dwóch odmian paraboloidy obok paraboloidy eliptycznej.
Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

jeśli $\ f$ ma w punkcie $x_0\,$ ekstremum lokalne, to istnieje takie $\ \epsilon > 0$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $\ h$ , spełniającej $\ 0 < |h| < \epsilon$ , zachodzi: $(f(x_0-h) - f(x_0)) \cdot (f(x_0+h) - f(x_0)) \;\ge\; 0$

a więc: $\frac{f(x_0-h) - f(x_0)}{-h} \cdot \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \;\le\; 0$

Po przejściu do granicy, dla $\ h \rightarrow 0$ , otrzymujemy: $(f'(x_0))^2 \;\le\; 0$

Zatem $f'(x_0) =\; 0$ . ∎

Warunek Fermata nie jest jednak wystarczający. Np. funkcja $g(x)=x^3\,$ nie ma ekstremum, chociaż jej pochodna $g^\prime(x)=3x^2\,$ zeruje się dla $x_0=0.\,$ Ekstremum może natomiast istnieć w punktach, w których nie istnieje (obustronna) pochodna skończona – funkcja $h(x)=x^{\frac{2}{3}}$ ma na przykład, minimum w punkcie $x_0=0,\,$ podczas gdy jej pochodna lewostronna w tym punkcie równa się $-\infty,$ a prawostronna $+\infty.$ Podobnie funkcja wartość bezwzględna ma w punkcie $x_0=0\,$ minimum globalne, chociaż w tym punkcie nie jest różniczkowalna.

Sprawdzian krzyżowy (lub walidacja krzyżowa, kroswalidacja, sprawdzanie krzyżowe) - metoda statystyczna, polegająca na podziale próby statystycznej na podzbiory, a następnie przeprowadzaniu wszelkich analiz na niektórych z nich (zbiór uczący), podczas gdy pozostałe służą do potwierdzenia wiarygodności jej wyników (zbiór testowy, zbiór walidacyjny).
Twierdzenie Heinego-Borela charakteryzuje zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie to najprawdopodobniej udowodnił wcześniej Dirichlet, przypisywane jest jednak Heinemu i Borelowi.

Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego

Funkcja ciągła $f\colon [a,b]\to \mathbb{R},$ różniczkowalna w przedziale $(a,b)\,$ i mająca skończoną liczbę punktów stacjonarnych (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna) ma w punkcie $x_0\in (a,b)\,$ :

minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie $\delta >0,\,$ że:

$f^\prime(x_0)=0$

$f^\prime(x)< 0$ dla $x\in (x_0-\delta, x_0)$

$f^\prime(x)> 0$ dla $x\in (x_0,x_0+\delta)$

maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie $\delta >0,\,$ że

$f^\prime(x_0)=0$

$f^\prime(x)> 0$ dla $x\in (x_0-\delta, x_0)$

$f^\prime(x)< 0$ dla $x\in (x_0, x_0+\delta)$

Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów

Jeśli o funkcji $f,\,$ określonej jak wyżej, założy się dodatkowo, że jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale $(a,b)\,$ oraz jej druga pochodna jest ciągła, to jeżeli $f^\prime(x_0)=0$ i $f^{\prime\prime}(x_0)\neq 0,$ to funkcja $f\,$ ma w punkcie $x_0\,$ ekstremum, przy czym, gdy $f^{\prime\prime}(x_0)<0,$ to jest to maksimum lokalne, a gdy $f^{\prime\prime}(x_0)>0,$ to minimum lokalne. Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero.

Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.
Gradacyjna analiza danych (ang. Grade Data Analysis, Grade Correspondence Analysis) - dział eksploracyjnej analizy danych zapoczątkowany w Instytucie Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk.

Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli założy się dodatkowo o funkcji $f,\,$ że jest $n\,$ -krotnie razy różniczkowalna i $n\,$ -ta pochodna jest ciągła w $(a,b),\,$ to prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Jeżeli $f^\prime(x_0)=f^{\prime\prime}(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0$

tj. wszystkie pochodne do $(n-1)\,$ -ej zerują się w punkcie $x_0,\,$ a $n\,$ -ta pochodna jest różna od zera, to

gdy $n\,$ jest liczbą parzystą, to $f\,$ ma ekstremum w punkcie $x_0,\,$ przy czym jest to maksimum, gdy $f^{(n)}(x_0)<0\,$ lub minimum, gdy $f^{(n)}(x_0)>0,\,$

gdy $n\,$ jest liczbą nieparzystą, ekstremum nie istnieje.

Z założenia zerowania się pochodnych do $(n-1),\,$ można wyprowadzić korzystając ze wzoru Taylora:

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.
Przekształcenie wieloliniowe - odwzorowanie produktu przestrzeni liniowych, które jest liniowe ze względu na każdą zmienną. Odwzorowanie w ciało nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny nazywa się formami wieloliniowymi.

$f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x_0+\theta h)$

dla pewnego $0<\theta<1.\,$

Jeśli $n\,$ jest parzyste, rozumowanie przebiega jak poprzednio. Gdy $n\,$ jest nieparzyste, prawa strona równości zmienia znak, gdy $h\,$ zmienia znak, a funkcja $f^{(n)}\,$ zachowuje w pewnym otoczeniu punktu $x_0\,$ ten sam znak co $x_0.\,$ Czyli $f(x_0+h)-f(x_0)\,$ ma dla $h<0\,$ inny znak niż dla $h>0,\,$ więc nie istnieje ekstremum w punkcie $x_0.\,$

Proste zagadnienia optymalizacyjne

Siatka prostopadłościennego pudełka wykonana z kwadratu o boku długości $\scriptstyle{a.}$

Zagadnienie wyznaczania ekstremów funkcji występuje często w fizyce i technice. Oto przykład:

Godzina (h) to jednostka miary czasu, dwudziesta czwarta część doby, dwunasta część dnia lub nocy astronomicznej. Jedna godzina to 4 kwadranse, 60 minut lub 3600 sekund. Godzina nie jest jednostką układu SI, ale jest przez ten układ uznawana.
Zasada minimum energii potencjalnej - zasada, zgodnie z którą układy fizyczne w przyrodzie dążą do osiągnięcia stanu o minimalnej energii potencjalnej. Chodzi tu o osiągnięcie minimum lokalnego, nie zaś globalnego.

Pudełko o największej objętości

Problem Z kwadratowego arkusza blachy o boku $a\,$ wycinane są przy wierzchołkach przystające kwadraty i po zagięciu brzegów tworzone jest prostopadłościenne pudełko. Jak otrzymać pudełko o największej objętości? Rozwiązanie 1 Jeśli przez $x$ oznaczyć długość boku wyciętego kwadratu, to objętość $V$ pudełka będzie równa $V(x) = x(a-2x)^2$ przy czym $0 \leqslant x \leqslant \tfrac{1}{2}a$ Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji $V$ w przedziale $[0, \tfrac{1}{2}a],$ przy czym wartości krańcowe reprezentują pudełko odpowiednio bez ścianek oraz bez podstawki, a więc o zerowej (minimalnej) objętości. Pochodna $V^\prime(x) = (a-2x)(a-6x)$ zeruje się na tym przedziale w punktach $x_0 := \tfrac{a}{6}$ oraz $x_1 := \tfrac{a}{2}$ (w tym przypadku objętość jest zerowa). Ponieważ funkcja objętości jest dodatnia wewnątrz przedziału, 0 na jego końcach i ma we wnętrzu nie więcej niż jedno ekstremum lokalne, to ma ona dokładnie jedno maksimum, które jest zarazem lokalne i globalne (twierdzenie Rolle'a); osiągane jest ono w $x_0$ . Dlatego największa objętość pudełka wynosi $V(x_0) = \frac{2}{27} a^3$ Rozwiązanie 2 Wielkość $W(x) := 4V(x) = ABC,$ gdzie $A := 4x$ oraz $B:=C:=a-2x$ są nieujemne, przyjmuje wartość maksymalną dla tego samego $x$ co $V(x)$ . Ponieważ $A+B+C =2a$ jest stałe i dodatnie, więc stała i dodatnia jest też średnia arytmetyczna nieujemnych liczb $A, B, C.$ $W(x)$ jest natomiast sześcianem ich średniej geometrycznej. Wiadomo, że średnia geometryczna liczb nieujemnych jest zawsze mniejsza lub równa od arytmetycznej, przy czym równość między tymi średnimi zajdzie tylko, gdy $A=B=C$ (zob. nierówności między średnimi potęgowymi), czyli gdy $4x = a - 2x,$ czyli dla $x= \frac{a}{6}$ Zatem dla tej właśnie wartości $x,$ $V(x)$ przyjmuje wartość maksymalną: $V\left( \frac{a}{6}\right) = \frac{2}{27} a^3$

Koszt eksploatacji statku

Problem Wiadomo, że koszt eksploatacji statku w ciągu godziny pływania wyraża się wzorem empirycznym $a+bv^3,\,$ gdzie $v\,$ oznacza prędkość statku w węzłach (1 węzeł = 1 Mm/h ≈ 1,85 km/h), natomiast $a\,$ i $b\,$ są stałymi, które powinny być obliczone dla każdego statku z osobna (część stała kosztu $a\,$ pochodzi od amortyzacji i kosztów utrzymania załogi, a część $bv^3\,$ od kosztów paliwa). Przy jakiej prędkości statek przebędzie dowolną odległość z najmniejszymi kosztami? Rozwiązanie Przebycie 1 mili morskiej trwa 1/v godziny, więc kosztuje: $f(v):=\tfrac{1}{v}(a+bv^3)=bv^2+\tfrac{a}{v}$ Przyrównując pochodną $f^\prime$ do zera mamy: $2bv-\tfrac{a}{v^2}=0,$ skąd $v=\sqrt[3]{\tfrac{a}{2b}}$ Ponieważ druga pochodna $f^{\prime\prime}(v)=2b+2\tfrac{a}{v^3}>0$ więc koszty rzeczywiście osiągną najmniejszą wartość dla znalezionej wartości $v.\,$

Gradacyjna analiza odpowiedniości (lub korespondencji, GCA, z ang. Grade Correspondence Analysis) – metoda statystyczna pozwalająca na znajdowanie ukrytych zależności w tablicy dwudzielczej. Należy do metod gradacyjnej analizy danych.
Dopełnienie ortogonalne podzbioru A przestrzeni V z określonym iloczynem skalarnym - zbiór wszystkich elementów w przestrzeni V, które są ortogonalne do każdego elementu zbioru A. Symbolicznie:

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)