Element najmniejszy - Polski Serwis Naukowy

Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru: $\forall y \in P : x \le y$

Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru: $\forall y \in P : y \le x$

Z definicji wynika, że zarówno element największy jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest "większa" od swych dzielników, tzn. m jest "mniejsze" od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: $m \preccurlyeq n \iff m|n$ – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną).
Z drugiej strony zbiór liczb $G=\{2, 3, 4, 6, 24\}$ uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).

Symbol bądź wyrażenie nieoznaczone – wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji. Zalicza się do nich:

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:

zbiór liczb $\{ 1, 2, 3 \}$ z naturalnym porządkiem $\le$ ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;

zbiór liczb naturalnych $\mathbb N = \{1, 2, 3, \dots\}$ ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;

zbiór liczb całkowitych $\mathbb Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;

aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego:

Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

zbiór $Q_1 = \mathbb Q \cap [0,1]$ liczb wymiernych w przedziale domkniętym $[0,1]$ ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale

zbiory $Q_2 = \mathbb Q \cap (0,1)$ liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych $(0,1)$ oraz

$Q_3 = \mathbb Q \cap \left[\sqrt 2, \pi\right]$ w przedziale domkniętym o krańcach niewymiernych elementu najmniejszego ani największego nie mają.

Przykład

Jednym z typowych przykładów częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w dowolnej przestrzeni topologicznej. W tym uporządkowaniu istnieje zarówno element najmniejszy jak i największy. Elementem najmniejszym jest zbiór pusty, gdyż zbiór pusty zawiera się w każdym podzbiorze przestrzeni. Elementem największym jest cała przestrzeń, gdyż każdy podzbiór przestrzeni zawiera się w tej przestrzeni.

Zobacz też

elementy minimalny i maksymalny

Przypisy

Podobnie zdefiniowany porządek na zbiorze liczb naturalnych z zerem ma tak samo element najmniejszy 1, ale także element największy 0, bowiem zero dzieli się przez każdą liczbę naturalną. Należy jednak zwrócić uwagę, że zero nie dzieli się przez zero (por. symbol nieoznaczony), czyli nie będzie w relacji ze sobą. To oznacza, że porządek ten nie jest zwrotny, i w tym przypadku należy użyć raczej symbolu $\prec$ podkreślającego ostry charakter porządku (pomimo że każda inna liczba zbioru dzieli się przez siebie).