Ten artykuł dotyczy traktatu "Elementy". Zapoznaj się również z: inne artykuły o tej nazwie.

P. Oxyrhynchus 29, papirus z III wieku z Elementami Euklidesa

Elementy (gr. Στοιχεῖα, Stoicheia) – pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk.

Elementy ukształtowały sposób myślenia o teoriach matematycznych i stały się wzorcem do naśladowania w wielu dziedzinach nauki. Są klasycznym przykładem metody dedukcyjnej i świadectwem siły rozumowania formalnego opartego na logice. Uznawane są za jedno z najsłynniejszych dzieł naukowych w historii ludzkości.

Historia

Codex Vaticanus 190

Autorem Elementów był Euklides, aczkolwiek uważa się, że dokonał on kompilacji znanych już wyników. Traktaty poświęcone geometrii pisali bowiem już przed nim Demokryt z Abdery, Ksenokrates, Heraklides z Pontu, a Simmias z Teb napisał nawet dzieło pod tym samym, co Euklides, tytułem. Prawdopodobnie jedynie kilka dowodów zamieszczonych w traktacie jest autorstwa Euklidesa, jednak nie umniejsza to w niczym wielkości jego dzieła.

Od starożytności, przez średniowiecze, aż do końca XIX wieku Elementy należały do kanonu nauczania matematyki i do dziś mogą uchodzić za wzór ścisłości i zwięzłości matematycznej wypowiedzi.

Elementy były wielokrotnie komentowane, poprawiane i wydawane. Ważnego ujednolicenia i uproszczenia dzieła dokonał w IV wieku Teon z Aleksandrii. Na jego pracy opierały się wszystkie późniejsze tłumaczenia i edycje, aż do odkrycia w XIX wieku innego greckiego rękopisu, wcześniejszego od wersji Teona. W VIII wieku przyszły przekłady arabskie, zaś w XII Adelard z Bath dokonał na ich podstawie pierwszego tłumaczenia Elementów na łacinę. Autorem kolejnego ujednolicenia był Federico Comandino, a jego wersja, oparta o teksty arabskie, ukazała się w roku 1572. Nieco wcześniej (w 1505 roku) pojawiło się, również łacińskie, tłumaczenie wersji Teona. W 1703 roku ukazało się w Oksfordzie pierwsze kompletne wydanie Elementów po angielsku. Polskiego tłumaczenia ośmiu ksiąg Elementów, pt. Euklidesa początków geometryi ksiąg ośmioro, dokonał na początku XIX wieku Józef Czech; ukazało się ono w roku 1807 w Krzemieńcu. Za najlepsze uważane jest trójjęzyczne wydanie niemieckie (dodatkowo greka i łacina), pt. Euclidis Opera Omnia (1883-1916).

Od roku 1482, gdy ukazało się oparte o wersje arabskie pierwsze drukowane wydanie Elementów w języku łacińskim, doliczono się ponad 1000 wydań drukowanych i ciągle ukazują się kolejne – jedynie Biblia cieszy się większym powodzeniem u wydawców. Na układzie Elementów oparty jest też, popularny przed II wojną światową, podręcznik Geometria autorstwa Jana Zydlera.

Metoda

Okładka pierwszego angielskiego wydania Elementów z 1570 roku

Traktat Euklidesa ma budowę dedukcyjną – po spisaniu listy pojęć pierwotnych i ich własności w postaci aksjomatów, drogą ścisłego rozumowania wyprowadzane są kolejne twierdzenia. Jest to cecha charakterystyczna dojrzałych teorii matematycznych, a geometria taką postać osiągnęła już w czasach Euklidesa.

O precyzji rozumowań przeprowadzanych w Elementach niech świadczy fakt, że pierwszą większą nieścisłość zauważono dopiero w drugiej połowie XIX wieku. Moritz Pasch doszedł do wniosku, że listę aksjomatów podaną przez Euklidesa należy uzupełnić o aksjomat zwany aksjomatem Pascha.

Poszukiwanie ścisłości, a jednocześnie prostoty rozumowań, doprowadziło matematyków do innych, niż zaproponowany przez Euklidesa, układów aksjomatów geometrii. W roku 1899 ukazała się klasyczna dziś praca Davida Hilberta Podstawy Geometrii (Grundlagen der Geometrie), która stała się podstawą większości stosowanych dziś aksjomatyk. Na układzie 21 aksjomatów Hilberta bazuje między innymi praca Podstawy geometrii Karola Borsuka i Wandy Szmielew.