Elipsoida - Polski Serwis Naukowy

Elipsoida dla a=4, b=2, c=1

Elipsoida – powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę, ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.

Elipsa (z gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Geoida – bryła, której powierzchnia w każdym miejscu jest prostopadła do pionu wyznaczonego przez siłę ciężkości. Geoida jest teoretyczną powierzchnią, na której potencjał siły ciężkości Ziemi jest stały, równy potencjałowi siły ciężkości na średnim poziomie mórz otwartych i przedłużoną umownie pod powierzchnią lądów. Ponieważ zawiera ona lustro wody w morzach i oceanach dodatkowo określana jest jako Geoida Zerowa. Jako powierzchnia ekwipotencjalna, geoida w każdym swym punkcie jest prostopadła do kierunku siły ciężkości (pionu).

Równanie

Równanie elipsoidy o środku symetrii w punkcie $(x_0, y_0, z_0)\;$ , osiach równoległych do osi układu i półosiach długości $a,b,c\;$ ma postać: $\frac {(x-x_0)^2}{a^2} + \frac {(y-y_0)^2}{b^2} + \frac {(z-z_0)^2}{c^2} = 1.$

Dla środka w początku układu współrzędnych równanie to przyjmuje postać: $\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1.$

Dla $a=b=c\;$ elipsoida jest sferą o promieniu $a\;$ .

Elipsoida, niezależnie od jej ustawienia w przestrzeni i doboru układu współrzędnych spełnia równanie powierzchni drugiego stopnia: $a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12} xy+2a_{23} yz+2a_{31} zx+2a_{14} x+2a_{24} y+2a_{34} z+a_{44}=0,\;$

przy czym w celu odróżnienia jej od innych takich powierzchni należy zastosować (przyjmując $aij = aji$ ) warunki: $\Delta=\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix}\right| <0$

oraz $T=a_{22} a_{33}+ a_{33} a_{11}+ a_{11} a_{22} -a_{23}^2 -a_{31}^2 -a_{12}^2>0.\;$

Objętość

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem: $V = \frac 4 3 \pi a b c.$

Pole powierzchni

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem: $S=2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right),$

gdzie $m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)},$ $θ = arcsin ε,$ $\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}},$

a $F(\theta, m)\;$ i $E(\theta, m)\;$ są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

Zobacz też

Geoida

Sferoida

Przypisy

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 300.