Energia kinetyczna - Polski Serwis Naukowy

Energia kinetyczna – energia ciała związana z jego ruchem.

Mechanika klasyczna

Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła (v<<c, gdzie c jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi: $E_k = \frac{1}{2} m v^2$ .

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.

$E_k = \frac{1}{2} \mathbb \omega \hat I \mathbb \omega = \frac{1}{2} \sum_{ij}\omega_i I_{ij} \omega_j$ ,

gdzie: $\mathbb \omega$ - prędkość kątowa, $\hat I= (I_{ij})$ - tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do: $E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$ ,

gdzie: I - odpowiednim momentem bezwładności, ω - prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Prędkość kątowa w fizyce – wielkość opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}\,$

gdzie $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$

lub $E_{k}=mc^{2} \left(\gamma -1 \right)\,$

lub $E_k = m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-1 \right)$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej $\frac{v}{c}\,$ $\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} = 1 + \frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots$

zatem: $E_k = mc^2 \left(\frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots\right) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8} m v^4/c^2 + \dots$ .

Dla prędkości v małych w porównaniu z prędkością światła (v<<c) można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej): $E_k \approx \frac{1}{2} m v^2$ .

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej $\hat T$ . Dla cząstki o masie m operator ten ma postać:

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.

Kwant – najmniejsza porcja, jaką może mieć lub o jaką może zmienić się dana wielkość fizyczna w pojedynczym zdarzeniu; np. kwant energii, kwant momentu pędu, kwant strumienia magnetycznego, kwant czasu.

$\hat T =\frac{\hat p^2}{2m}$ .

gdzie $\hat p$ jest operatorem pędu.

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji $\epsilon_{k \nu}$ ma postać $\hat T =\sum_{\mathbf k \nu} \epsilon_{\mathbf k \nu} a^\dagger_{\mathbf k \nu}a_{\mathbf k \nu}$ ,

gdzie symbol $\nu$ może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. $\nu=\{\sigma\}$ dla spinu, lub $\nu=\{\sigma,n\}$ dla spinu i pasma n).