Estymator - Polski Serwis Naukowy

Estymator jest statystyką służącą do szacowania wartości parametru rozkładu.

Celem zastosowania estymatora jest znalezienie parametru rozkładu cechy w populacji.

Przykładowo badamy rozkład wzrostu ludności w Polsce. Zakładamy, że rozkład tej cechy X w populacji jest rozkładem normalnym, zaś szukaną wielkością jest wartość oczekiwana m. Wartość m jest zatem szukanym parametrem rozkładu cechy X. W celu oszacowania tych wielkości zbieramy dane z próby losowej o liczebności n. Następnym krokiem będzie znalezienie wygodnej statystyki $\hat{\theta}$ z próby, która posłuży do oszacowania parametru m. Rolę takiej statystyki może spełniać wartość średnia z próby. Mówimy zatem, że wartość średnia z próby jest estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu normalnego. Obliczoną przez nas na podstawie konkretnej próby wartość średnią nazywamy oceną parametru.

Przedział ufności jest podstawowym narzędziem estymacji przedziałowej. Pojęcie to zostało wprowadzone do statystyki przez amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia Jerzego Spławę-Neymana.
Metoda najmniejszych kwadratów (bardziej odpowiednia, ale nieużywana nazwa: metoda minimum sumy kwadratów błędów) – metoda statystycznych estymacji i wyznaczania linii trendu na podstawie zbioru danych w postaci par liczb. Najczęściej jest stosowana przy regresji liniowej, ale może też być stosowana do statystycznego wyznaczania parametrów nieliniowych linii trendu.

Definicja

Niech $\mathcal{P}=\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\}$

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby $\mathcal{X}$ , indeksowaną parametrem $\theta\;$ (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). $P_\theta\;$ opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie $X\;$ .

Zagadnienie estymacji punktowej polega na takim skonstruowaniu pewnej statystyki $\hat{\theta}(X)\colon \mathcal{X} \to \mathbf{R}^k$ zwanej estymatorem, aby wartości $\hat{\theta}(X)$ były bliskie (w jakimś ustalonym sensie) wartości $\theta\;$ . W szczególności, jeśli estymowany jest tylko jeden z parametrów rozkładu (czyli jedna ze współrzędnych wektora $\theta\;$ ), to odległość między $\hat{\theta}(X)$ i $\theta\;$ liczona jest tylko dla tej współrzędnej.

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.
Ranga – w najprostszej wersji numer kolejny obserwacji statystycznej w próbie po uporządkowaniu obserwacji według wartości jednej ze zmiennych. Zwykle stosuje się uporządkowanie rosnące i numerowanie od 1.

Ponieważ każda ze zmiennych losowych $X_i\;$ ma rozkład identyczny z rozkładem cechy $X\;$ w populacji generalnej, a rozkład ten zależy od parametru $\theta\;$ , estymatory są zmiennymi losowymi, mającymi rozkład również zależny od parametru $\theta\;$ .

Estymacja przedziałowa w jednowymiarowym przypadku polega na skonstruowaniu dwóch statystyk $\overline{\theta}(X)$ i $\underline{\theta}(X)$ takich, że zachodzi: $P\left( \theta \in [\underline{\theta}(X),\overline{\theta}(X)]\right) \geqslant \gamma$

gdzie $\gamma\;$ jest ustalonym prawdopodobieństwem (tzw. poziom ufności). Przedział $[\underline{\theta}(X),\overline{\theta}(X)]$ to przedział ufności na poziomie $\gamma\;$ .

Rozkład na czynniki lub faktoryzacja – proces, w którym dla danego obiektu znajduje się obiekty, takie że ich iloczyn jest jemu równy, przez co są one w pewnym sensie od niego prostsze.
Estymacja punktowa – grupa metod statystycznych, służąca do punktowego oszacowania wartości szukanego parametru rozkładu. Punktowe oszacowanie oznacza tutaj, że uzyskujemy konkretną wartość liczbową, nie zaś przedział liczbowy, jak dzieje się to w przypadku estymacji przedziałowej.

O estymacji z zadaną precyzją mówi się jeśli nałożone jest górne ograniczenie na wielkość $\overline{\theta}(X)-\underline{\theta}(X)$ .

Oceną parametru lub estymatą nazwiemy każdą realizację estymatora (zmiennej losowej $\hat{\theta}$ ).

Oczywiście ocena parametru będzie prawie zawsze różnić się od oryginalnej wartości parametru $\theta\;$ . Wprowadza się zatem miarę błędu estymacji:
Błąd szacunku $d = \hat{\theta} - \theta$

Statystyka nieparametryczna – gałąź statystyki, zajmująca się modelami i metodami, nie wymagającymi założeń odnośnie do rozkładu populacji z której losowana jest próba.
Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)