Formuła atomowa - Polski Serwis Naukowy

Formuła atomowa (formuła prosta) – w logice matematycznej formuła, która nie ma żadnych właściwych podformuł. Rodzaje formuł atomowych zależą od rodzaju używanej logiki.

Formuły, które nie są atomowe nazywamy złożonymi.

Rachunek zdań

W rachunku zdań jedynymi rodzajami atomów są zmienne zdaniowe: $p,q,r,\ldots$

Rachunek kwantyfikatorów

W klasycznym rachunku predykatów (logice pierwszego rzędu) określamy formuły atomowe w następujący sposób:

Teoria grup – jeden z działów matematyki, uznawany za część algebry, badający własności obiektów zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy.

Forma preneksowa (ang. prenex form lub prenex normal form) to taka postać formuły logicznej, w której wszystkie kwantyfikatory przesunięte są na początek formuły. Inna jej nazwa to przedrostkowa postać normalna.

Niech $\tau$ będzie ustalony alfabetem (tzn zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych) i niech $x_0,x_1,\ldots$ będzie (nieskończoną) listą używanych zmiennych. Przypomnijmy, że termy języka ${\mathcal L}(\tau)$ są zdefiniowane jako elementy najmniejszego zbioru ${\bold T}$ takiego, że:

wszystkie stałe i zmienne należą do ${\bold T}$ ,

jeśli $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ i $f\in\tau$ jest $n$ -arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_1,\ldots,t_n)\in {\bold T}$ .

Formuły atomowe języka ${\mathcal L}(\tau)$ to wyrażenia

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.

$t_1= t_2$ gdzie $t_1, t_2\in {\bold T}$ , oraz

$P(t_1,\ldots,t_n)$ gdzie $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ zaś $P\in\tau$ jest $n$ -arnym symbolem relacyjnym.

Przykłady

Rozważmy język ${\mathcal L}(\{\in\})$ teorii mnogości (czyli $\in$ jest binarnym symbolem relacyjnym). Formuły atomowe w tym języku to fomuły postaci $x_i=x_j$ oraz $x_i\in x_j$ .

Przykładami formuł atomowych w języku ${\mathcal L}(\{*\})$ teorii grup (czyli $*$ jest binarnym symbolem funkcyjnym) są:

$x_1*x_1=x_1$ , $x_1*x_2=x_2*x_1$ , $(x_1*x_2)*x_3=x_1*(x_2*x_3)$ .

Rozważmy teraz język ${\mathcal L}(\{+,\cdot,0,1,\leqslant\})$ ciał uporządkowanych (zatem $+,\cdot$ są binarnymi symbolami funkcyjnymi, a $\leqslant$ jest binarnym symbolem relacyjnym). Następujące wyrażenia są formułami atomowymi w tym języku:

$0\leqslant x_1\cdot x_1$ , $x_1+x_2=x_2\cdot x_1$ , $x_1\leqslant (x_1+x_2)\cdot (x_2+1)$

Zobacz też

Forma preneksowa

Funktor zdaniotwórczy

Koniunkcyjna postać normalna