Fraktale - Polski Serwis Naukowy

Fraktal

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:

Zbiór Julii i zbiór Fatou to dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.

ma nietrywialną strukturę w każdej skali,

struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,

jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,

jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny,

ma względnie prostą definicję rekurencyjną,

ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość (zob. Falconer (1997)). Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.

Kostka Cantora (wagi κ, gdzie κ jest nieskończoną liczbą kardynalną) - przestrzeń produktowa κ kopii zbioru {0,1} z topologią dyskretną. Kostka Cantora wagi κ oznacza jest zwykle symbolem Dκ - dokładniej:
Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie. Wbrew próbom rozróżnienia terminów [potrzebne źródło] rekursja i rekurencja w rzeczywistości słowa te mają identyczne znaczenie[potrzebne źródło].

Historia

Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).
Dziwny atraktor, atraktor chaotyczny jest to taki atraktor, który jest fraktalem. Jeśli w danym układzie dynamicznym występuje dziwny atraktor to jest to równoważne stwierdzeniu, że ten układ jest chaotyczny.

Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy, a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej anteny fraktalnej. Liczne odpowiedniki fraktali istnieją też w naturze.

Komputer (z ang. computer od łac. computare – obliczać, dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – urządzenie elektroniczne służące do przetwarzania wszelkich informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.
Funkcja osobliwa (określana również jako Diabelskie schody) – w matematyce dowolna funkcja ƒ(x), określona dla przedziału [a, b], posiadająca następujące właściwości:

Własności

Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo fraktala do jego części. Co więcej, zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne przekształcenie afiniczne. Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem pudełkowym. Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru.

Felix Hausdorff (ur. 8 listopada 1868 roku we Wrocławiu (wówczas Breslau), zm. 26 stycznia 1942 roku w Bonn) – niemiecki matematyk, jeden z twórców topologii.
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Wiadomo, że stosunek pól płaskich (wymiaru 2) figur podobnych równa się kwadratowi skali ich podobieństwa. Na przykład figura podobna do innej w skali 3 ma dziewięć razy większe pole od tamtej (9 = 3² albo 2 = log39). W przestrzeni stosunek objętości brył (trójwymiarowych) podobnych jest sześcianem skali ich podobieństwa; bryła podobna do innej w skali 2 ma osiem razy większą objętość od tamtej (8 = 2³ albo 3 = log28). Wymiar samopodobieństwa figury daje się zatem określić jako logarytm o podstawie równej skali podobieństwa i liczbie logarytmowej wskazującej, ile razy większa od figury wyjściowej (jaką częścią figury wyjściowej) jest figura podobna do niej w tej skali. Dla fraktali liczba ta może nie być całkowita.

Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.
Open Directory Project (zwany także DMoz od Directory Mozilla) – otwarty katolog stron WWW, utrzymywany na serwerach koncernu Time Warner, w którym zarówno drzewo kategorii jak i wszelkie wpisy są redagowane przez wspólnotę redaktorów-ochotników.

Na przykład zbiór Cantora jest podobny do swoich dwu części w skali 3; wymiar Hausdorffa zbioru Cantora wynosi d = log 2/log 3=0,630929754... Analogicznie trójkąt Sierpińskiego jest podobny do swoich trzech części w skali 2, a jego wymiar Hausdorffa jest równy d = log 3/log 2 =1,584962501... Dywan Sierpińskiego jest podobny do swoich ośmiu części w skali 3, zatem jego wymiar Hausdorffa to d = log 8/log 3 =1,892789261...

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Wymiar podobieństwa - inaczej wymiar fraktalny, wymiar samopodobieństwa jest miarą fraktali. Jego wartości mogą być dowolnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Z formalnego punktu widzenia istnieje kilka nierównoważnych definicji wymiarów, które w różnych sytuacjach są określane mianem wymiarów fraktalnych. Często termin ten odnosi się do wymiaru Hausdorffa.

Ogólniej, jeżeli fraktal składa się z N części, które łączą się między sobą na obszarze miary Lebesgue'a zero i są podobne w skali r do całego fraktala to wymiar Hausdorffa fraktala będzie równy log N/log r. Jeszcze ogólniej, jeśli założymy, że każda część jest podobna do całości w innej skali $r_i$ , i=1,2,...,N, to wymiar Hausdorffa jest rozwiązaniem poniższego równania z niewiadomą s

Kalafior (Brassica cretica subsp. botrytis (L.) O. Schwartz.) – podgatunek kapusty kreteńskiej. Jest to roślina jednoroczna należąca do rodziny kapustowatych. Jest najprawdopodobniej mutantem kapusty głowiastej lub brokułu[potrzebne źródło]. Pochodzi z Cypru, dlatego początkowo nazywano go kapustą cypryjską.
Przekształcenie afiniczne, powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych odwzorowujące odcinki na odcinki. Są one homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych).

$\sum_{i=1}^N r_i^s = 1.$

Niektóre fraktale są zbiorami o mierze Lebesgue'a równej zero. Dotyczy to fraktali klasycznych, np. trójkąt Sierpińskiego i zbiór Cantora mają miarę Lebesgue'a równą zero. Ogólnie każdy fraktal dla którego wymiar Hausdorffa jest ostro większy od wymiaru topologicznego będzie mieć tę własność. Z kolei zbiór Mandelbrota i niektóre zbiory Julii mają dodatnie miary Lebesgue'a (na przykład miara Lebesgue'a zbioru Mandelbrota wynosi ok. 1,5).

Abraham Bezikowicz (ros. Абрам Самойлович Безикович, ur. 24 stycznia 1891 w Berdiańsku, zm. 2 listopada 1970 w Cambridge) – rosyjski matematyk pracujący głównie w Wielkiej Brytanii, znany tam przede wszystkim jako Abram Samoilovitch Besicovitch lub Besikovitch.
Sterling jest programem komputerowym służącym do tworzenia fraktali. Stworzony został przez Stephena C. Fergusona w 1999 roku w języku programowania C pod system Microsoft Windows w 1999 roku. Początkowo był rozpowszechniany w formie freeware, ale obecnie za ściągnięcie programu z portalu Fergusona wymagana jest opłata w wysokości 25 USD. Sterling2 jest wersją freeware programu Sterling posiadającą inne algorytmy. Sterling2 został wydany we wrześniu 2008 roku przez Tadeusza Bonieckiego. Jedyną różnicą w wyglądzie pomiedzy Sterling i Sterling2 jest nazwa w pasku tytułowym i w okienku About (podana jako sterlingwar2). Poza tym Sterling2 wygląda dokładnie tak samo jak oryginalny Sterling. Jedyna zmiana funkcjonalna to zasób 50 algorytmów służących do tworzenia fraktali. Pliki konfiguracyjne stworzone przez jeden program mogą być użyte w drugim, ale generowane z nich fraktale będą się różnić.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)