Funkcja - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego słowa.

Funkcje matematyczne

dziedzina i przeciwdziedzina
obraz i przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Język rosyjski (русский язык, russkij jazyk; dawniej też język wielkoruski) – język należący do grupy oraz jest jednym z pięciu języków oficjalnych a jednocześnie jednym z sześciu języków konferencyjnych Organizacji Narodów Zjednoczonych. Posługuje się pismem zwanym grażdanką, graficzną odmianą cyrylicy powstałą na skutek jej upraszczania.
Johann Bernoulli ( ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 , tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony.

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Symbol funkcyjny – symbol używany w logice matematycznej i pokrewnych dziedzinach matematyki (np. algebrze abstrakcyjnej). Symbole funkcyjne są elementami alfabetów języków pierwszego rzędu (a także innych logik) i charakteryzują się tym, że zastosowane do obiektów zwanych termami produkują nowe termy.
Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.

Funkcja f (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół: $f\colon X \to Y$ .

Zbiór $X$ nazywa się dziedziną, a zbiór $Y$ – przeciwdziedziną funkcji $f.$ Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru Y oznacza się często $Y^X\;$ . Ponadto:

Funkcja (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte भुङ्क्ते, „używa, cieszy się, posiada”) – wyraz mogący oznaczać jedno z następujących pojęć:
Rachunek lambda to system formalny używany do badania zagadnień związanych z podstawami matematyki jak rekurencja, definiowalność funkcji, obliczalność, podstawy matematyki np. definicja liczb naturalnych, wartości logicznych, itd. Rachunek lambda został wprowadzony przez Alonzo Churcha i Stephen Cole Kleene w 1930 roku.

dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f,

przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji,

każdy element x zbioru X nazywa się argumentem funkcji,

każdy element y = f(x) nazywa się wartością funkcji,

mówi się także, że f jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y,

zbiór $f(A) = \{y = f(x)\colon x \in A \}$ jest obrazem podzbioru A zbioru X w przekształceniu f,

dla każdego elementu $b \in f(X)$ przeciwobrazem elementu b (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór $f^{-1}(b) = \{ a \in X\colon f(a) = b \}$ ; jeśli $b \notin f(X)$ , to $f^{-1}(b) = \varnothing$ .

przeciwobrazem podzbioru $B \subset Y$ nazywamy zbiór $f^{-1}(B) = \{ a \in X\colon f(a) \in B \}$ ; jeżeli $B \cap f(X) = \varnothing$ , to $f^{-1}(B) = \varnothing$

Wykres funkcji

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji $f\colon X \to Y$ nazywa się zbiór $W_f = \{(x, y) \in X \times Y: y = f(x)\}$ . Z definicji funkcji wynika, że dla każdego $x_0 \in X\;$ istnieje dokładnie jeden taki $y_0 \in Y\;$ , że $(x_0, y_0) \in W_f$ . Jeśli $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 r. w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 r. w Sztokholmie) – francuski matematyk, filozof i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.
Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli $(x_0, y_0) \in W_f$ , to $y_0 = f(x_0)\;$ , przy czym $y_0\;$ jest jedynym takim elementem.

Definicja Peano funkcji (za pomocą wykresu)

W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peano: Relacja $R \subset X \times Y$ jest funkcją, jeśli: $\forall_{x \in X} \exist_{y \in Y} x R y$ , $\forall_{x \in X, y_1, y_2 \in Y} [x R y_1 \wedge x R y_2 \Rightarrow (y_1 = y_2)]$ .

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczbowe

Ważną klasą funkcji są funkcje

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.
Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

$f \colon X \to \mathbb{C}$ (zbiór $\mathbb{C}$ jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych.

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze X można zdefiniować działania arytmetyczne:

Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f + g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) + g(x).

Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f - g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) - g(x).

Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f · g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) · g(x).

Dla $f, g \colon X \to Y$ i $\forall_{x \in X} g(x) \neq 0$ funkcja f : g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) : g(x).

Dla $f \colon X \to Y$ i $\lambda \in \mathbb{C}$ funkcja λ · f przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość λ · f(x).

Funkcja f jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia M, że dla każdego $x \in X$ spełniona jest nierówność $|f(x)| < M$ .

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Pierre de Fermat (ur. 17 sierpnia 1601 w Beaumont-de-Lomagne, zm. 12 stycznia 1665 w Castres) – matematyk (samouk) francuski, z wykształcenia prawnik i lingwista, od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa sądu) w Tuluzie. Większość jego prac opublikował dopiero po jego śmierci syn (1679). Dokonał wielu odkryć w teorii liczb, m.in. sformułował słynne wielkie twierdzenie Fermata i jeszcze przed Kartezjuszem opracował i stosował metodę współrzędnych w geometrii. Wykazał, że wszystkie krzywe drugiego stopnia da się uzyskać przez odpowiednie przecinanie płaszczyzną powierzchni stożka; podał metodę znajdowania ekstremum funkcji. Jego prace stworzyły też podstawy pod późniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa.

Jeśli funkcja liczbowa f przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste $f \colon X \to \mathbb{R}$ ,

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.
Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1, gdy argument jest liczbą wymierną i wartość 0, gdy argument jest liczbą niewymierną.

Funkcjami liczbowymi nazywamy: $f \colon X \to \mathbb{C}$ , gdzie $X \subset \mathbb{C}$ (jest to funkcja zespolona) $f \colon X \to \mathbb{R}$ , gdzie $X \subset \mathbb{R}$ (jest to funkcja rzeczywista)

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych): $f \colon X \to \mathbb{C}$ , gdzie $X \subset \mathbb{C}^{n} = \underbrace{\mathbb{C} \times \ldots \times \mathbb{C}}_{n}$ , $f \colon X \to \mathbb{R}$ , gdzie $X \subset \mathbb{R}^{n} = \underbrace{\mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}}_{n}$ ,

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się: y = f (x1, x2, ..., xn), gdzie x1, ..., xn są współrzędnymi punktu w $\mathbb{R}^{n}$ lub odpowiednio w $\mathbb{C}^{n}$ .

Sposoby określania funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $\scriptstyle X$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $\scriptstyle Y.$ Dwóm różnym elementom w $\scriptstyle X$ może odpowiadać ten sam element $\scriptstyle Y.$ Nie każdy element zbioru $\scriptstyle Y$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina $X$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.
Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów).

Sanskryt (dewanagari: संस्कृतम् saṃskṛtam; sa.msk.rtaa bhaa.saa, od sa.m+k.r: zestawiać, składać; bhaa.saa: język; "język uporządkowany", w przeciwieństwie do języków naturalnych prakrytów, tzn. ludowych o "nieuporządkowanej" gramatyce) – język literacki starożytnych, średniowiecznych i wczesnonowożytnych Indii. Należy do indoaryjskiej gałęzi indoirańskiej grupy rodziny języków indoeuropejskich. Pomimo powszechnego w Europie przekonania, iż jest językiem martwym, jak łacina, zasadniczo nim nie jest, gdyż nie tylko jest jeszcze stale używany w ceremoniach religijnych hinduizmu, ale także istnieją niewielkie grupy osób deklarujące go jako ich jedyny język ojczysty (wg spisów ludności z 1999 roku – ok. 3000 osób na 900 mln ludności Indii). Czynione są też próby rewitalizacji tego języka poprzez tworzenie sanskryckich neologizmów na określenie współczesnych terminów, np. technicznych (np. telewizja, sanskr. duuradarshana). Jest też uznawany od 1949 roku za jeden z 13 konstytucyjnych języków Republiki Indii (obecnie 23 - 2008 r.). Dlatego właściwsze jest określenie go jako język wegetujący niż jako martwy.
Funkcja kardynalna – funkcja której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako y = f(x) lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania F(x, y) = 0.

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.
Warunek Höldera – warunek dotyczący funkcji pojawiający się w założeniach wielu twierdzeń z zakresu analizy matematycznej, jedno z kryteriów jednostajnej ciągłości funkcji.

$f(x) = \begin{cases} 3^x, & \text{gdy } x > 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \\ 2x - 1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych - 0.

Funkcja może na ogól być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób: $sgn(x) = \begin{cases} 1, & \text{gdy } x > 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \\ - 1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$ ,

albo w taki:

Funkcja uwikłana – funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór.
Ciało (ciało fizyczne) – termin o niezerowej . Określenie ciało fizyczne jest podstawowym pojęciem używanym w definicjach i prawach fizycznych w mechanice klasycznej jak i kwantowej, elektrodynamice i innych. Zastępuje słowa: materia, bryła, organizm, obiekt astronomiczny, przedmiot itp.

$sgn(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{gdy } x \ne 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \end{cases}$ .

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane.

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie.

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.
Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.