Funkcja ciągła - Polski Serwis Naukowy

Funkcje matematyczne

dziedzina i przeciwdziedzina
obraz i przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.
Zbiór skierowany – w teorii mnogości, zbiór z praporządkiem (tj. relacją zwrotną i przechodnią), spełniającym dodatkowy warunek, że dla każdej pary elementów tego zbioru można znaleźć element będący w relacji z każdym elementem pary. Zbiory skierowane wykorzystywane są w konstrukcji ciągów uogólnionych.

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej (określona na całym zbiorze $\Bbb R$ lub jego podprzedziale, skończonym lub nie) może być postrzegana jako ciągła, jeżeli jej wykres można „narysować bez odrywania ołówka od papieru” (bez ograniczeń w czasie lub przestrzeni).

Funkcje rzeczywiste

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości: jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową. Niech $M \subseteq \mathbb R$ oraz $f\colon M \to \mathbb R$ .

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:
Porządek zupełny – własność porządków częściowych postulująca istnienie kresów. W literaturze matematycznej istnieje kilka definicji tego pojęcia różniących się szczegółami technicznymi zależnymi od kontekstu matematycznego.

Definicja Cauchy'ego

Jeżeli $f$ spełnia dla ustalonego $x \in M$ warunek $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie $x$ . Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego $x \in M$ , czyli $\forall_{x \in M}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to mówimy, że jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze $M$ .

Definicja Heinego

Funkcja $f$ jest ciągła w sensie Heinego w punkcie $x \in M$ , jeśli dla każdego ciągu $(x_n)$ liczb z $M$ , który jest zbieżny do $x$ ciąg wartości $\big(f(x_n)\big)$ jest zbieżny do $f(x)$ , czyli $\forall_{x \in M}\ \ \ x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)$ .

Uwagi

Warto zauważyć, że z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie. Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x \in X$ , gdy albo $x$ nie jest punktem skupienia zbioru $M$ , albo $\lim\limits_{a \to x}~f(a) = f(x).$

Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Inaczej mówiąc jest to funkcja o wartościach rzeczywistych.
Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

Należy także zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dla danego zbioru. Przesunięcie pierwszego kwantyfikatora na trzecią pozycję, mianowicie $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in M}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Punkt odosobniony - punkt nieciągłości funkcji f(x), ciągłej w każdym innym punkcie jego pewnego otoczenia (innymi słowy, jest to izolowana nieciągłość).
Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

Ciągłość jednostronna

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla $y$ , mianowicie $y < x$ , aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do $x$ wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1, gdy argument jest liczbą wymierną i wartość 0, gdy argument jest liczbą niewymierną.
Twierdzenie Darboux – twierdzenie analizy matematycznej mówiące, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux, czyli w szczególności, każda funkcja ciągła f w przedziale [a, b] przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy f(a) i f(b) (lub f(b) i f(a), gdy f(b)<f(a)). Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Jeana Darboux.

Przykłady

Rozpatrujemy funkcje $\cdot\colon \mathbb R \to \mathbb R$ .

Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji $\cdot\colon \mathbb C \to \mathbb C$ ).

Funkcja dana wzorem

$f(x) = \begin{cases} \tfrac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x \ne 0 \\\; 1 & \mbox{dla } x = 0 \end{cases}$ jest ciągła.

Funkcja Dirichleta $D$ jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).

Funkcja $D_1(x) = x \cdot D(x)$ jest ciągła wyłącznie w punkcie $x = 0$ .

Funkcja $D_{\mathbb Z} = \sin(x \pi) \cdot D(x)$ jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.

Funkcja Riemanna $R$ jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.
Zbiór gęsty – w przestrzeni topologicznej zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)