Funkcja eliptyczna - Polski Serwis Naukowy

Funkcje eliptyczne – funkcje określone na zbiorze liczb zespolonych, które są dwuokresowe, tj. periodyczne wzdłuż dwóch kierunków (np. zarówno względem osi liczb urojonych jak i osi liczb rzeczywistych). Funkcje eliptyczne na płaszczyźnie zespolonej są analogią funkcji trygonometrycznych na osi liczb rzeczywistych. Nazwa funkcje eliptyczne pochodzi stąd, iż po raz pierwszy pojawiły się one jako funkcje odwrotne do całek eliptycznych, które z kolei nazwę swą wzięły stąd, iż były badane w związku z problemem obliczania długości łuku elipsy.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Funkcje eliptyczne Jacobiego – funkcje eliptyczne (dwuokresowe funkcje meromorficzne) zdefiniowane przez Carla Jacobiego, wykazujące pewne podobieństwo do funkcji trygonometrycznych.

Funkcja eliptyczna jest to funkcja meromorficzna f określona na zbiorze liczb zespolonych $\mathbb{C}$ , dla której istnieją dwie niezerowe liczby zespolone a i b spełniające równanie: f(z + a) = f(z + b) = f(z) dla wszystkich z w zbiorze $\mathbb{C}$

oraz takie, aby stosunek $\frac{a}{b}$ nie był liczbą rzeczywistą. Wtedy: f(z + ma + nb) = f(z) dla wszystkich z w zbiorze $\mathbb{C}$ oraz m i n będących liczbami naturalnymi.

Rozwój teorii funkcji eliptycznych opiera się na $\wp$ -funkcji wprowadzonej przez Karla Weierstrassa. Każda funkcja eliptyczna może być przedstawiona za pomocą $\wp$ -funkcji. Definicja funkcji eliptycznych, wprowadzona przez Carla Jacobiego przy użyciu funkcji theta (niedwuokresowej), jest bardziej złożona, lecz również stosowana.

Elipsa (z gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Własności

Każda liczba zespolona ω taka, że f(z + ω) = f(z) dla wszystkich z w zbiorze $\mathbb{C}$ jest nazywana okresem funkcji f.

Jeśli funkcja eliptyczna posiada dwa okresy a i b takie, że każdy inny okres ω może być zapisany jako ω = ma + nb, gdzie m i n to liczby całkowite, to a i b nazywane są okresami pierwotnymi funkcji eliptycznej.

Każda funkcja eliptyczna posiada parę okresów pierwotnych, lecz nie są to pary unikalne. Jeśli a i b są okresami pierwotnymi opisującymi kratę, to ta sama krata może być opisana przez parę okresów pierwotnych a' = p a + q b i b' = r a + q b, gdzie p, q, r i s są liczbami całokowitymi oraz spełniają równanie p s - q r = 1. Innymi słowy, jeśli a i b są okresami pierwotnymi, to a' i b' również nimi są.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Liczba urojona to liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Gerolamo Cardano w XVI wieku, lecz nazwę nadał im Kartezjusz w 1637 roku. Nie zostały szerzej zaakceptowane aż do prac Eulera (1700–1783) i Gaussa (1777–1855).

Jeśli a i b są okresami pierwotnymi, to każdy równoległobok o wierzchołkach z, z + a, z + b, z + a + b jest nazywany równoległobokiem pierwotnym. Zwielokrotnianie tych równoległoboków przez kolejne mnożenia a i b przez liczby całkowite daje kolejne równoległoboki pierwotne, w których funkcja f posiada te same własności (okresowość).

Pochodna funkcji eliptycznej jest również funkcją eliptyczną posiadającą ten sam okres.

Zobacz też

funkcje eliptyczne Jacobiego

funkcje eliptyczne Weierstrassa