Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa - funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia B przy pomocy wartości całki Lebesgue'a z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w konkteście rozkładów prawdopodobieństwa na prostej jak i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości rozkładu zmiennej losowej.

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość funkcji falowej dla danych parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja matematyczna wymaga odniesienia się do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Definicja

Niech $P$ będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni $\mathbb{R}^N$ (w szczególności rozkładem na prostej dla $N=1$ ). Funkcję borelowską $f\colon \mathbb{R}^N\to \mathbb{R}$ nazywamy gęstością rozkładu $P$ gdy dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}^N$ $P(B)=\int\limits_B f(x) dx$ .

Jeśli $f$ jest gęstością rozkładu $P$ , to w szczególności, na mocy powyższej definicji: $\int\limits_{\mathbb{R}^N} f(x) dx=1$ .

W drugą stronę, każda nieujemna funkcja borelowska $f$ , spełniająca powyższy warunek, jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.

Interpretacja kopenhaska funkcji falowej jest interpretacją probabilistyczną. Mianowicie gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej (funkcji falowej pomnożonej przez jej sprzężenie) w tym punkcie.

Obserwabla - w mechanice kwantowej mierzalne wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie zwane obserwablami. Aby dany operator był obserwablą jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta. Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik jedną z wartości własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielkości fizycznej.

Wybrane własności w przypadku jednowymiarowym

Dystrybuanta

Załóżmy, że $f$ jest gęstością rozkładu $P$ . Wówczas $\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt=P((-\infty, x])=F_P(x)$ ,

gdzie $F_P$ jest dystrybuantą rozkładu $P$ – gęstość (o ile istnieje) pozwala przy swojej pomocy wyrazić w prosty sposób dystrybuantę rozkładu, co często bywa przydatne, gdy dystrybuanta nie daje się wyrazić w sposób elementarny (np. rozkład normalny). Z powyższego związku między gęstością a dystrybuantą można zauważyć, że warunkiem koniecznym istnienia gęstości jest aby dystrybuanta rozkładu była prawie wszędzie ciągła – nie jest to jednak warunek wystarczający – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. dystrybuanta Cantora). Warunkami wystarczającymi na istnienie gęstości dla danego rozkładu jest bezwzględna ciągłość bądź ograniczone wahanie jego dystrybuanty.

Poziom energetyczny - wartość energii stanu dostępnego dla cząstki. Poziom fermionu może być zdegenerowany, jeśli dana wartość energii cechuje więcej niż jeden stan.

Stan kwantowy — informacja o układzie kwantowym pozwalająca przewidzieć prawdopodobieństwa wyników wszystkich pomiarów jakie można na tym układzie wykonać. Stan kwantowy jest jednym z podstawowych pojęć mechaniki kwantowej.

Jeśli $F$ jest dystrybuantą to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna oraz jeśli $F^\prime$ (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.

Wartość oczekiwana

Jeżeli $X$ jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością $f(x)$ , to jej wartość oczekiwana wyraża się wzorem: $E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x) dx$ .

Suma zmiennych losowych

Jeżeli $X$ i $Y$ są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły, jeśli ponadto obydwie mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest splotem ich gęstości.

Położenie - wielkość fizyczna określająca umiejscowienie danego ciała w przestrzeni. Położenie jest określane względem wybranego układu współrzędnych. Wielkość ta, w zależności od kontekstu, w jakim jest użyta, może występować jawnie jako wektorowa wielkość fizyczna określająca kierunek i odległości danego obiektu od wybranego punktu odniesienia, będącego przeważnie początkiem układu współrzędnych. Wówczas wektor punktu odniesienia do tego ciała nosi nazwę wektora wodzącego.

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Mechanika kwantowa

W kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej wszelkie obserwowalne własności cząstek (na przykład ich położenia, pędy, energie) opisywane są funkcjami falowymi. Przeprowadzenie pomiarów tej samej wielkości mierzalnej (tzw. obserwabli) w identycznych układach o identycznych stanach kwantowych może prowadzić do różnych wyników. W istocie, wynik pomiaru jest zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa. W przypadku, gdy mierzoną wielkością jest położenie cząstki w stanie opisywanym funkcją falową $\psi (r)\,$ gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie $r\,$ dana jest równaniem:

Splot – w matematyce działanie dwuargumentowe znajdujące zastosowania także poza nią, m.in. w informatyce i automatyce; nazwą tą nazywa się również wynik tego działania, które bywa nazywane także mnożeniem splotowym.

Dystrybuanta – w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa ponieważ, są obiektem prostszym niż rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną. Jest ona blisko związana z pojęciem rangi.

$\rho (r) \;=\; \psi (r)^{*}\cdot \psi (r) \;=\; \left| \psi (r) \right|^{2}$

gdzie oznacza sprzężenie zespolone.