Funkcja holomorficzna - Polski Serwis Naukowy

Prostokątna siatka (u góry) wraz z jej obrazem danym względem funkcji holomorficznej f (na dole).

Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych $\mathbb C$ o wartościach w $\mathbb C$ , która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.
Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Holomorficzność funkcji jest warunkiem dużo silniejszym niż różniczkowalność w sensie rzeczywistym, gdyż funkcja o tej własności jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, przez co może być opisana za pomocą wzoru (szeregu) Taylora.

Nomenklatura

Słowo „holomorficzny” zostało wprowadzone przez dwóch studentów Cauchy'ego, Briota (1817-1882) oraz Bouqueta (1819-1895), i pochodzi od greckiego őλoς (holos) oznaczającego „całość” oraz μoρφń (morphe) oznaczającego „kształt”, „wygląd”.

Często, wymiennie z terminem „funkcja holomorficzna”, stosuje się również nazwę funkcja analityczna, jednak jest on także używany w szerszym sensie – funkcji (rzeczywistej, zespolonej lub ogólniejszego typu), która jest równa swojemu rozwinięciu w szereg Taylora w dowolnym punkcie swojej dziedziny. Nietrywialny fakt, że klasa funkcji analitycznych pokrywa się z klasą funkcji holomorficznych jest istotnym twierdzeniem analizy zespolonej. W związku z tym wielu matematyków przedkłada termin „funkcja holomorficzna” nad „funkcja analityczna”, choć ten drugi nadal jest szeroko rozpowszechniony. O funkcjach holomorficznych mówi się także, iż są regularne (zob. regularność funkcji), z kolei funkcje, które nie są holomorficzne, nazywa się czasem osobliwymi.

Odwzorowanie równokątne, wiernokątne lub konforemne – w matematyce funkcja zachowująca kąty. Zwykle jest to funkcja między obszarami płaszczyzny zespolonej.
Granica – pojęcie używane w matematyce pojęcie na określenie zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.

Funkcję, która jest holomorficzna na całej płaszczyźnie zespolonej nazywa się funkcją całkowitą (całkowitość oddaje tu „całość”, dlatego funkcji tej nie należy mylić z funkcją określoną w liczbach całkowitych). Z kolei wyrażanie „holomorficzna w punkcie $a$ ” oznacza funkcję nie tylko różniczkowalną w punkcie $a,$ ale różniczkowalną wszędzie wewnątrz pewnego otwartego koła o środku w $a$ na płaszczyźnie zespolonej.

Język grecki albo greka — język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi.
Przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła – przestrzeń liniowo-topologiczna, która ma bazę lokalną złożoną ze zbiorów wypukłych. Ze względu na dobre własności jest to ważna klasa przestrzeni liniowo-topologicznych rozważanych w analizie funkcjonalnej.

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb C$ , zaś $f\colon U \to \mathbb C$ będzie funkcją zespoloną określoną na $U$ . O funkcji $f$ mówi się, że jest różniczkowalna w sensie zespolonym lub ma pochodną zespoloną w punkcie $z_0 \in U$ , jeżeli istnieje granica $f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}~{f(z) - f(z_0) \over z - z_0}$ ,

którą nazywa się pochodną zespoloną funkcji $f$ w punkcie $z_0$ .

Powyższa granica jest wzięta po wszystkich ciągach liczb zespolonych zbiegających do $z_0$ i dla wszystkich takich ciągów iloraz różnicowy ma zbiegać do tej samej liczby $f'(z_0)$ . Intuicyjnie, jeżeli $f$ jest różniczkowalna w sensie zespolonym w $z_0$ z kierunku $r$ , to obrazy będą zbiegać do punktu $f(z_0)$ z kierunku $f'(z_0)r$ , gdzie ostatni iloczyn jest mnożeniem liczb zespolonych. To pojęcie różniczkowalności dzieli kilka wspólnych własności z różniczkowalnością w sensie rzeczywistym: jest liniowe i spełnia reguły iloczynu, ilorazu i łańcuchową.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Sir Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie $z_0 \in U$ , to funkcję $f$ nazywa się holomorficzną na $U$ . Funkcja $f$ jest holomorficzna w punkcie $z_0$ , jeżeli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu $z_0$ . Funkcja $f$ jest holomorficzna na pewnym nieotwartym zbiorze $A$ , jeżeli jest holomorficzna na zbiorze otwartym zawierającym $A$ .

Związek między różniczkowalnością w sensie rzeczywistym i w sensie zespolonym jest następujący:

Analiza zespolona - dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych - w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Jej zastosowania sięgają teorii liczb, teorii fraktali, matematyki stosowanej, a także pewnych dziedzin fizyki.
Twierdzenie odwrotne – dla danego twierdzenia twierdzenie w którym założenie zamieniono z tezą wyjściowego twierdzenia. Niech będzie dane twierdzenie: jeśli A, to B; wtedy twierdzenie odwrotne do niego jest zdaniem jeśli B, to A. Twierdzenie odwrotne do danego prawdziwego twierdzenia nie musi być zdaniem prawdziwym. Twierdzenie odwrotne jest równoważne twierdzeniu przeciwnemu.

jeżeli funkcja zespolona $f(x + iy) = u(x, y) + iv(x,y)$ jest holomorficzna, to $u$ i $v$ mają pierwsze pochodne cząstkowe względem $x$ oraz $y$ i spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \mbox{oraz} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Prostym odwróceniem tego wyniku jest, że jeżeli $u$ oraz $v$ mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe i spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna, to wtedy $f$ jest holomorficzna.

Bardziej zadowalającym odwróceniem, które nastręcza więcej trudności przy dowodzie, jest twierdzenie Loomana-Menchoffa: jeżeli $f$ jest ciągła, a $u$ i $v$ mają pierwsze pochodne cząstkowe i spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna, to $f$ jest holomorficzna.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać jąza część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)