Funkcja mierzalna - Polski Serwis Naukowy

Funkcja mierzalna – w matematyce, a dokładniej w teorii miary, funkcje zachowujące strukturę przestrzeni mierzalnych; jako takie stanowią one naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue'a). Dokładniej, funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.
Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

Definicja ta wydaje się być prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane $\sigma$ -algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja $f\colon (\mathbb R, \mathfrak L) \to (\mathbb R, \mathfrak B),$ tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się $\sigma$ -algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj $\mathfrak L$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zaś $\mathfrak B$ jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue'a.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrą borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Przykładowo funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. W praktyce niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej.

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.
Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.

Szczególne przypadki

Jeżeli $(X, \mathfrak M)$ oraz $(Y, \mathfrak N)$ są przestrzeniami borelowskimi, to funkcja mierzalna $f\colon (X, \mathfrak M) \to (Y, \mathfrak N)$ bywa nazywana funkcją borelowską. Funkcje ciągłe są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest niemal funkcją ciągłą, o czym mówi twierdzenie Łuzina. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia $Y\stackrel{\pi}{\to} X,$ , to nazywa się je cięciem borelowskim.

funkcja mierzalna w sensie Lebesgue'a to funkcja mierzalna $f\colon (\mathbb R, \mathfrak L) \to (\mathbb C, \mathfrak B_\mathbb C),$ gdzie $\mathfrak L$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zaś $\mathfrak B_\mathbb C$ to σ-algebra borelowska liczb zespolonych $\mathbb C.$ Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue'a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich całkowalności.

Zmienne losowe definiuje się jako funkcje mierzalne określone na przestrzeniach próbek (zdarzeń elementarnych).

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)