Funkcja wykładnicza - Polski Serwis Naukowy

Funkcje matematyczne

dziedzina i przeciwdziedzina
obraz i przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

Technika kolorowania dziedziny w matematyce – sposób prezentacji wykresu funkcji zmiennej zespolonej. Polega on na przypisaniu kolorów z koła barw do płaszczyzny zespolonej. Możliwe są różne przekształcenia lecz w praktyce stosuje się dwa:

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:

Warunek Höldera – warunek dotyczący funkcji pojawiający się w założeniach wielu twierdzeń z zakresu analizy matematycznej, jedno z kryteriów jednostajnej ciągłości funkcji.

Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych o wartościach w , która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.

$f(x)=a^{x}$ , gdzie $a>0$ .

Niektórzy autorzy wymagają, aby podstawa $a$ funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla $a = 1$ funkcja $a^x$ jest funkcją stałą.

Własności

$\quad a^{x+y}=a^x \cdot a^y$

$\quad a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}$

Dla $a>1\quad$ funkcja wykładnicza o podstawie $a\quad$ jest rosnąca, dla $0<a<1\quad$ malejąca. Jeśli $\quad a=1$ to funkcja $\quad f(x)=a^x$ jest stała.

Pochodna funkcji wykładniczej to:

$(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a$

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla $a=e\quad$ mamy

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

Niech będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że spełnia warunek Lipschitza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała L > 0, że dla dowolnych

$(e^x)'=e^x\quad$

Funkcja wykładnicza o podstawie $a>1$ jest (przy argumencie dążącym do $+\infty$ ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej $e$ (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie takiej funkcji to: $\exp(x)$ (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji $f(x)=e^x\quad$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego: $\dot{x}=x$

daje wzór na funkcję eksponencjalną: $exp(x)= \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^n$

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ .

Wykres funkcji $y=e^x\quad$ :

Płaszczyzna zespolona

Wykres $e^z$ na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Tylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego: $e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}$

Jest to funkcja okresowa z okresem $2 \pi i$ i można ją zapisać jako: $e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)\,$

gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

$e^{z + w} = e^z e^w\,$

$e^0 = 1\,$

$e^z \ne 0$

${d \over dz} e^z = e^z$

$\,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}$

dla wszystkich z i w.

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przypisy

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1978. str. 87

Zobacz publikację na Wikibooks:
Funkcja wykładnicza i jej własności

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji wykładniczych

W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Funkcja wykładnicza